Основной задачей анализа струйного течения является определение полей скоростей и расходов по длине и сечению струи, ее границ и угла раскрытия, количества движения и кинетической энергии, поскольку величиной указанных параметров определяется характер теплового и механического воздействия струи на обрабатываемые материалы.
Рассмотрим развитие струи, истекающей из длинной щели шириной 2 b 0 (рис. 6.8). Воспользуемся упрощенной схемой струи, представив длину переходного участка равной нулю. В этом случае сечение, в котором сопрягаются начальный и основной участки, называют переходным сечением струи. Если в расчетах переходной участок учитывают, то переходное сечение считают совпадающим с началом основного участка. Основные соотношения для переноса количества движения в области полностью развитой струи можно вывести из упрощенного уравнения движения.
Проинтегрируем уравнение Прандтля по у и получим
(10.2)
Порядок дифференцирования и интегрирования в первом слагаемом этого выражения можно изменить, учитывая, что Кроме того, второе слагаемое может быть проинтегрировано по частям
|
|
(10.3)
В результате получаем
(10.4)
Согласно уравнению неразрывности ¶ / ¶ у =¶ и/ ¶ х, поэтому третье слагаемое левой части выражения (10.4) можно переписать в виде:
При у (± ) и ¶ / ¶ у 0. Следовательно, второе слагаемое левой части уравнения (10.4) и касательное напряжение равны нулю. Таким образом, выражение (10.4) можно записать в виде:
или = const. (10.5)
Физический смысл этого равенства становится очевидным, если вспомнить, что произведение есть количество движения (импульс) единицы объема, а udy в случае плоской струи - элементарный объемный расход потока. Следовательно, интеграл от выражения - полное количество движения, проходящее в единицу времени через некоторое сечение струи.
Из соотношения (10.5) следует, что поток количества движения в струе постоянен и не зависит от х. Это является следствием предположения о постоянстве давления, так как в этом случае результирующая внешних сил, действующих на некоторый контрольный объем, заключающий в себе струю газа, равна нулю, и поток количества движения вдоль струи остается постоянным.
Константу в выражении (10.5) можно вычислить, зная поток количества движения при х = 0. Действительно, если количество движения единицы объема равно и объемный расход равен то
(10.6)
В области полностью развитой струи b и осевую скорость струи можно выразить как функцию от х в виде степенных законов . Используя эти соотношения, а также уравнение неразрывности, можно выразить порядок величин различных слагаемых уравнения движения Прандтля:
|
|
1)
2)
откуда
3) и
Поскольку левая часть уравнения Прандтля имеет порядок и правая часть - , то, следовательно, 2 n + 1 = 2 n + m, откуда m = 1. Левая часть равенства (10.5), которое выражает постоянство потока количества движения, по такой же оценке имеет порядок Поскольку m = 1, равенство (10.5) может выполняться для любых х лишь при показателе степени, равном нулю и, следовательно, n = ½.
Таким образом, проведенный анализ позволяет заключить, что плоская струя расширяется по линейному закону в функции расстояния от сопла, а осевая скорость уменьшается как
Число Рейнольдса струи может быть определено по её местной ширине и осевой скорости: . Поскольку эта величина имеет порядок или , число Рейнольдса возрастает с расстоянием. Практически число Рейнольдса может возрастать лишь до тех пор, пока размеры струи не достигнут границ объема (пространства), в который она втекает.
Вышеприведенное рассуждение дает некоторое общее представление об основных чертах процесса распространения струи, однако оно не дает ответа на основной вопрос о профиле скорости, интенсивности подсасывания окружающего газа и действительных размерах струи. Для ответа на этот вопрос было развито несколько полуэмпирических подходов, базирующихся на предположении о геометрическом подобии профилей скорости в области полностью развитой струи. Условия подобия выражаются в виде
(10.7)
где = у / х.
Ниже излагается для случая плоской струи один из таких методов, в котором предполагается, что подобные профили скорости представляют собой гауссовские кривые вида
(10.8)
где - константа, определенная экспериментально. В соответствии с выражениями (10.6) и (10.7) условие постоянства потока количества движения принимает вид
(10.9)
или
, (10.10)
Следовательно, отношение осевой скорости к начальной скорости струи можно выразить следующим образом:
(10.11)
Длину потенциального ядра L 0 можно найти, зная, что для начального участка и, следовательно, L 0 =2 b 0/ I 2. Полный объемный расход на единицу ширины струи для x > L 0 можно получить интегрированием местной скорости по сечению струи:
Зная, что начальный расход не единицу ширины отношение полного расхода к начальному расходу может быть выражено в функции от т.е.
Используя выражение (10.11) и обозначая
(10.12)
Экспериментальные результаты Альбертсона с сотрудниками и ряда других исследователей показывают, что распределение скорости вида (10.8) удовлетворяет измеренному распределению в турбулентной струе, если C 1 = = 0,109, откуда I 1 = 0,272, I 2 = 0,192, а при x > L 0; L 0 =10,4 b 0 ; Q / Q 0 = 0,62 при x > L 0 .
Опыты показывают, что плоская струя может рассматриваться как турбулентная, если число Рейнольдса, вычисленное по начальной скорости и ширине щели, больше чем 30.
Аналогичным образом выполняется анализ закономерностей развития осесимметричной (круглой) затопленной струи. Заметим, однако, что изменение геометрии потока приводит к отличиям результирующих характеристик такой струи по сравнению с рассмотренной выше плоской. Прежде всего это относится к уравнению сохранения количества движения (10.6), которое для круглой струи имеет вид
(10.13)
где r соответствует b (рис. 6.8). Изменяется в данном случае и характер убывания осевой скорости u max. Если осевая скорость плоской струи уменьшалась обратно пропорционально , то у круглой струи Поскольку закономерность нарастания толщины (радиуса) струи остается прежней то отсюда вытекает свойство осесимметричной струи сохранять постоянство турбулентного касательного напряжения на ее оси.
В самом деле, если вычислять число Рейнольдса по локальному радиусу струи и скорости на ее оси, то получим что свидетельствует о постоянстве турбулентных характеристик потока.
|
|
Соотношения для определения профиля скорости и изменения осевой скорости в продольном направлении для основного участка осесимметричной струи запишутся в виде:
(10.14)
(10.15)
Поскольку расширение струи происходит с ростом х линейно, то можно говорить об угле расширения. При этом следует учитывать, что струя расширяется конически, как это показано на рис. 6.8. Для линии, вдоль которой угол расширения равен 6,5o для плоской струи и 5o для круглой струи. Вершина конуса для плоской струи лежит в центре сопла, а для осесимметричной отстоит от сопла по оси струи на расстояние 0,6 d 0 .
В соответствии с формулой (10.15) струя является уже полностью развитой, начиная с сечения x = 6,4 d 0 , и, следовательно, длина начального участка L 0 = 6,4 d 0 + 0,6 d 0 = 7 d 0. При выводе формул (10.14) и (10.15) была использована эмпирическая зависимость для коэффициента вихревой вязкости в виде Подставляя в это соотношение значение максимальной скорости из уравнения (10.15) найдем, что или
Полагая, что из сопла диаметром d 0 = 3 см вытекает струя воздуха с начальной скоростью м/с в воздух при "нормальных" условиях, получаем Re0 = 62000 и Таким образом, вихревая вязкость в этом случае почти в тысячу раз больше молекулярной вязкости. Течение в круглой струе становится ламинарным при числе Re < 80.
Опыты показывают, что профиль скорости осесимметричной струи довольно хорошо аппроксимируется также гауссовской кривой, как это предполагалось в анализе для плоской струи. Однако гауссовская кривая дает скорости, которые являются слишком малыми вблизи границ круглой струи (рис. 10.2).
Примечателен экспериментальный факт о том, что в осесимметричной турбулентной струе полностью развитое турбулентное течение наблюдается лишь в области ядра вплоть до радиуса, на котором Вне этого ядра лежит довольно широкая кольцевая переходная область,. а за ней до границ струи течение носит характер ламинарной оболочки.
Рис. 10.2. Аппроксимация профиля скорости осесимметричной струи гауссовской кривой (2): 1 - эксперимент; 2 - расчет
|
|
В качестве количественной характеристики переходной области можно использовать коэффициент перемежаемости (см. гл. 4). В полностью турбулентной области а в нетурбулентной области На рис. 10.3 представлен. профиль величины коэффициента перемежаемости по сечению круглой турбулентной струи. Если скорость равна 0,1 от величины осевой скорости, то поток является турбулентным в течение примерно половины времени.
W×10
Рис.6.3. Изменение коэффициента пере- межаемости по ширине струи: 1 – x / d 0 =
= 20; 2 – 27; 3 – 37; 4 – 64,5; 5 - 76
Количество жидкости, подсасываемой круглой струёй, можно определить путем интегрирования профилей скорости в основном участке. Объемный расход в струе тогда. выражается простой формулой:
Поскольку
Подобный же расчет, основанный на гауссовской кривой, дает менее точный результат
Поскольку вследствие подсоса окружающей среды скорость на оси струи непрерывно уменьшается, то можно говорить о длине струи. Обычно за длину струи принимают такое расстояние от среза сопла, начиная с которого скоро скорость на её оси становится меньше некоторой заданной доли скорости истечения (как правило, 5 ¸ 10%).
Для описания универсальных (автомодельных) профилей скорости в основном участке осесимметричной или плоской затопленной струи могут быть подобраны приближенные аналитические зависимости. Например, для воздушной струи можно пользоваться функцией , которую впервые теоретически получил Шлихтинг:
(10.18)
где - расстояние от точки до оси струи со скоростью u, выраженное в долях от радиуса (или полутолщины) струи. Например, для точки относительное расстояние легко определяется из выражения (383): = y / r = 0,441. Для неизотермических струй можно пользоваться соотношением, полученным С.И. Авериным на основе оригинального теоретического подхода к описанию явлений свободной турбулентности:
(10.19)
где mах - концентрация смеси газовых сред струи и окружающего пространства на оси; - то же в любой другой точке поперечного сечения струи; начальная плотность газовой среды; - плотность окружающей среды; - концентрация истекающей газовой среды струи на оси. Для затопленной струи = , и выражение (10.19) трансформируется в уравнение Шлихтинга (10.18). Профили скорости, рассчитанные по этим формулам, хорошо согласуются с экспериментальными профилями скорости (рис. 10.1).
Представленный выше анализ закономерностей развития затопленных струй характерен в двух отношениях. Во-первых, он дает физическое описание струйного течения, вводит понятия и терминологию, а также устанавливает структуру (схематическое строение) турбулентной струи, которая в своих основных чертах сохраняется практически при любом типе взаимодействия струи с окружающей средой. Во-вторых, данный анализ наглядно показывает, что в математическом плане турбулентная струя определяется, по сути дела, двумя функциями: распределением скорости по поперечному сечению струи (профилем скорости) и изменением осевой (максимальной) скорости вдоль потока. Именно эти две функции служат основой для последующего расчета коэффициентов тепло- и массообмена между газом и обрабатываемым материалом, процесса факельного горения топлива и т. д. Отметим также то обстоятельство, что закономерности нарастания толщины затопленной струи не зависят от ее геометрии и для основного участка подчиняется простой зависимости b = c x.
Пример 10.1. Определить длину плоской и осесимметричной струй для одинаковых значений b 0 и d 0.
В соответствии с выражением (10.11) для плоской струи = 2,28(2 b 0/ x)1/2. Принимая , получаем
L oсн/ b 0 = 2×(2,28/0,05)2 = 4158,72.
Прибавляя длину начального участка, окончательно находим
L c = L осн + L 0 = 4158,72 b 0 + 10,4 b 0 = 4169,12 b 0.
Аналогичным образом, на основании выражения (10.15) имеем
L осн = 6,4/0,05 d 0 = 128 d 0
и
L c = 128 d 0 + 7 d 0 = 135 d 0.
Столь резкое различие в длинах струй объясняется тем обстоятельством, что плоская струя подсасывает окружающую среду лишь в направлении оси у (сверху и снизу), в то время как в осесимметричной струе подсос осуществляется по всему периметру поперечного сечения.