Развитие турбулентной струи в спутном или встречном потоках

Перемещение среды, в которую вытекает струя, параллель­но оси струи приводит к увеличению интенсивности турбу­лентного обмена количеством движения между двумя по­токами. В результате изменяются закономерности подсоса окружающей среды в струю, а также протяженность по­следней. В то же время, нет оснований полагать, что это об­стоятельство существенно сказывается на структуре струи и на распределение скорости в ее поперечном сечении. По­этому принято считать, что при любой скорости внешнего потока профиль скорости в основном участке описыва­ется функцией Шлихтинга (10.18), которая в данном случае имеет вид:

(10.20)

а профиль скорости в начальном участке - кривой универсальной скорости:

(10.21)

Здесь безразмерная ордината отсчитывается от наруж­ной границы струи у ₂:

(10.22)

где y ₁ —координата внутренней границы пограничного слоя.

Таким образом, задача определения параметров турбу­лентной струи, развивающейся в спутном или встречном потоках, сводится к установлению закономерностей расши­рения границ струи и изменения ее осевой скорости.

Указанная задача может быть решена на основе теории пути смешения Прандтля. В этой теории (см. гл. 6) Прандтль полагал, что пульсационные составляющие про­дольного и поперечного компонентов скорости пропорцио­нальны изменению средней скорости в направлении, пер­пендикулярном направлению движения потока где l - длина пути смешения (гл. 6).

Как уже указывалось ранее, скорость расширения струи (скорость нарастания толщины пограничного слоя) опреде­ляется, главным образом, пульсационной составляющей по­перечного компонента скорости, т.е. В случае осесимметричной струи вместо b следует подстав­лять ее радиус r.

Подобие профилей скорости в различных сечениях по­граничного слоя позволяет считать, что или где и - скорости на внутрен­ней и внешней границах пограничного слоя.

Подобие профилей скоростей позволяет также предпо­ложить, что отношение характерных линейных размеров есть величина постоянная, т.е. l / b = const. Следовательно, можно записать, что Поскольку а то закон нарастания толщины пограничного слоя по длине струи имеет следующий вид:

(10.23)

Величина называется степенью турбулентно­сти потока. Она всегда положительна, поэтому во всех слу­чаях

Характерное значение осредненной скорости , фигури­рующее в соотношении (10.23), определяется по формуле

(10.24)

То обстоятельство, что усреднение скорости в этом уравне­нии осуществляется по толщине струи, а не по площади ее поперечного сечения, объясняется отмеченным ранее фак­том практической независимости закона расширения струи от ее геометрии. В случае несжимаемого газа ( = const предполагается во всех дальнейших выкладках) для про­филя скорости, описываемого уравнением Шлихтинга, среднемассовая скорость близка к среднеарифметической абсо­лютных значений скоростей

(10.25)

Используя это выражение, получаем следующий закон увеличения толщины пограничного слоя

~ (10.26)

Таким образом, и при движущейся окружающей среде в пределах начального участка струи толщина пограничного слоя пропорциональна удалению от плоскости сопла или b = const× х, где . Значение коэффициента с находится экспериментально.

Учитывая, что для затопленной струи b ₃ = c x, можно записать

(10.27)

Нетрудно заметить, что отличие закономерностей рас­ширения струи, развивающейся в спутном и встречном по­токах, от закономерностей расширения затопленной струи определяется соотношением скоростей и . При спут­ном движении двух струй (или струи и окружающей среды) скорости на границах пограничного слоя направлены оди­наково, поэтому с увеличением абсолютная величина разности ( - ) убывает, тогда для струи в спутном по­токе имеем:

(10.28)

причем знак минус берется при > .

Из выражения (10.28) следует, что о турбулентной струе как таковой можно говорить лишь при . При = = 0. Физически это означает однородность потока уже в выходном сечении струи.

При распространении струи во встречном потоке скоро­сти на границах пограничного слоя имеют противополож­ное направление, т. е. геометрическая разность скоростей равна сумме их абсолютных значений, поэтому . Иными словами, при встречном движении струй (или струи и окружа­ющей среды) расширение пограничного слоя не зависит от соотношения скоростей на его границах и подчиняется тому же закону, что и расширение затопленной струи. Этот не­сколько неожиданный результат объясняется тем обстоя­тельством, что вблизи границы раздела двух встречных по­токов формируется область с нулевой скоростью движения, и вытекающая струя развивается при условиях, когда на ее границах эффективная скорость окружающей среды рав­на нулю.

Начальный участок струи. В начальном участке струи, вытекающей в окружающую среду со скоростью , = = const и = const, поэтому здесь при спутном движении b = ± c x (1 - m)/(1 + m), где a опыт­ный коэффициент c = 0,27 (рис. 10.4).

Рис. 10.4. Зависимость толщины пограничного слоя струи несжимаемой жидкости от скорости внешнего потока

Уравнение b = ± c x (1 - m)/(1 + m) определяет изменение вдоль начального участка толщины пограничного слоя b, расположенного ме­жду внешней границей у ₂ и внутренней у ₁, причем b = у ₁ - у ₂. Для установления вида функций у ₁(x) и у ₂(x) воспользуемся законами сохранения массы и количества движения газа. Согласно первому из них количество газа, протекающего через некоторое сечение пограничного слоя плоской струи должно быть равно сумме расходов газа через границу и через границу y ₂ т.е.

(10.29)

Аналогичным образом, количество движения газа в выде­ленном сечении складывается из количества движения га­зов, проходящих через границы и , т.е.

(10.30)

Умножив уравнение (10.29) на и вычитая почленно полу­ченное выражение из соотношения (10.30), получим

или при

(10.31)

Используя уравнения (10.21) и (10.22), выражению (10.31) мо­жно придать следующий вид:

откуда после вычисления интегралов

находим

(10.32)

где знак плюс соответствует m>1

Следовательно,

(10.33)

где знак минус соответствует m > 1.

Длину начального участка определим из условия = 0, что эквивалентно достижению внутренней границей погра­ничного слоя оси струи:

(10.34)

где знак минус отвечает режиму m > 1.Это выражение приблизительно справедливо и для осесимметричной струи; необходимо только заменить на .

Для затопленной струи (m = 0) из этого уравнения по­лучаем L _з/ b ₀ = что хо­рошо соответствует экспериментальным данным.

Расход газа, протекающего через половину плоской струи в ее начальном участке

Учитывая, что а также используя выражения для относительного расхода газа имеем

(10.35)

что дает для конца начального участка

½ = 1 +

Для затопленной струи (m = 0), отсюда находим Q = Q ₀/ L _з = т.е. на начальном участке такая струя подсасывает из окружающей среды почти треть своего начального расхода. По мере увеличения m интенсив­ность подсоса возрастает, достигая при m >> 1 значения

При использовании приведённых выше формул в практических расчётах необходимо учитывать следующие обстоятельства. Уравнения (10.32) ¸ (10.35) отражают формальные математические преобразования, которые не всегда соответствуют реальной физической ситуации. В самом деле, при m = 1 струи как таковой фактически не существует. В то же время, формула (10.34) даёт бесконечное значение длины начального участка. Далее, при m > 1 струя является обратной, т.е. подсос осуществляется спутным потоком из вдуваемой струи. Обратная струя закрывается, когда скорость на оси "струи" с заданной точностью совпадает со скоростью внешнего потока.

Основной участок струи. Более сложной задачей явля­ется определение очертаний основного участка струи в спутном потоке. В этом случае формула (10.28) приобрета­ет вид:

(10.36)

где - скорость на оси основного участка струи (знак минус берется при > ). Константа c определяется опытным путем и для основного участка равна 0,22. По­скольку = f (x), является функцией расстояния граница струи в спутном потоке должна быть кри­волинейной, т.е d b / d x = var и для ее определения необхо­димо знать вид зависимости

Для отыскания закономерностей изменения скорости по оси струи, а также для определения границ струи восполь­зуемся уравнением сохранения количества движения, ко­торое для изобарической струи имеет следующий вид

= (10.37)

Это уравнение выводится способом, аналогичным рассмот­ренному ранее для начального участка.

Используя функцию Шлихтинга, вместо выражения (10.37) получаем:

или, заменив интегралы их значениями,

(10.38)

где

Решая квадратное уравнение (10.38), находим

Для затопленной струи (m = 0), учитывая, что b = с х = 0,22 х, из уравнения (10.38) имеем

Запишем уравнение (10.36) в виде:

Подставив в это выражение значение и интегрируя его, приходим к уравнению, связывающему толщину струи с продольной координатой х

(10.39)

где - безразмерное расстояние от начального се­чения до полюса основного участка, в котором толщина струи равна нулю; ; ; Выполняя интегрирование в правой части уравнения (10.39), для m < 1 получаем окончательно

(10.40)

При практических расчетах для данного значения m вы­числяют , а затем, изменяя безразмерную толщину струи b, находят по уравнению (10.40) соответствующую координа­ту При этом положение полюса определяют по соот­ношению:

(10.41)

где

По найденной зависимости вычисляют измене­ние вдоль потока (рис. 10.5).

Рис. 10.5. Схема изменения осевой скорости по длине струи на начальном (I), переходном (II) и основном (III) участках

В случае, когда струя имеет меньшую скорость, чем ок­ружающая среда (m > 1), уравнение (10.40) непригодно, так как при этом получаются мнимые значения величины Для m > 1 целесообразно вести отсчет координаты от переходного сечения струи в котором избы­точная скорость на оси приблизительно равна избыточной скорости истечения ; тогда вместо выражения (10.39) получаем уравнение

Поскольку изменяется нижний предел интегрирования, то окончательное выражение ус­ложняется. Однако оно имеет ту же структуру, что и уравнение (10.40), поэтому здесь не приводится. Отметим только, что , а

Наконец, приведем выражение, определяющее относи­тельный расход газа через поперечное сечение струи в ос­новном участке и справедливое при . (10.42)

Аналогичным вышеописанному способом выполняется анализ более сложных случаев развития турбулентной струи в спутном потоке: осесимметричной струи, неизотер­мической струи и т.д. С конкретными решениями задач для этих случаев можно познакомиться по монографиям Г. Н. Абрамовича и другой литературе.

Пример 10.2. Оценить параметры струи несжимаемого газа, развивающегося в спутном потоке при соотношении скоростей m = 0.6. Построить контуры струи, а также график изменения скорости на оси струи по её длине.

Для решения подобных задач весьма удобен пакет Mathcad, позволяющий легко выполнить многовариантные решения. Ниже представлена схема использования пакета.

Перейдём теперь к анализу закономерностей развития струи в основном участке. Здесь необходимые величины вычисляются в такой последовательности: x_п, F₁(x_п), а затем выполняются расчёты по формуле (10.40).

На этом этапе особенно проявляются преимущества пакета Mathcad, поскольку в его рамках можно строить не только графики зависимостей между отдельными функциями, но и обратные им.

Можно видеть, что значение b / b ₀ = 0 при значениях x / b ₀ соответствующих координатам полюсов струи.

При развитии в спутном потоке длина струи определяется скоростью внешней среды, т.е. значением m. Очевидно, можно считать, что струя "закрылась", если относительная скорость на её оси u _max/ u ₀ будет равна (1,05 ¸ 1,10) m. Используя это определение, из уравнения для D u_m можно найти значение b / b ₀, соответствующее концу струи,

откуда для m = 0,6 получаем: = 47,706. Из графика 44,767 находим 2,5. Можно также воспользоваться специальной командой Mathcad.