Примеры моделей

Задача 4.1.Каждый из 300 кассиров запрашивает центральный компьютер системы резервирования и продажи билетов в среднем 1 раз в 5 минут. Компьютер обслуживает запросы за случайное время, распределенное по экспоненциальному закону со средним 0,8 с, если он исправен. Однако из-за отказов в среднем 1 раз в час он «зависает» на 3 минуты.

Определить среднее время ответа компьютера кассиру.

Решение

Имеем СМО с двумя потоками. Первый поток – абсолютного приоритета (отказы) интенсивностью λ₁ = 1 ч^-1 = 1/60 мин^-1 и средним временем обслуживания υ₁ = 3 мин. Второй поток - интенсивностью λ₂ = 300/(5∙60) = 1 с^-1 и с υ₂ = 0.8 с. Необходимо найти u₂ в СМО с абсолютными приоритетами.

u₂ = w₂ + υ₂, w₂ определятся по формуле (4.1):

где R₁ = λ₁∙υ₁ = 3/60 = 0,05; R = R₁ + ρ₂ = 0,05 + 1∙0,8 = 0,85.

Подставляя в (4.6), имеем:

,

u₂ = 67.7 + 0.8 = 68.5 (с).

Задача 4.2. Вычислительная система обслуживает простейший, интенсивностью 1 мин^-1, поток запросов пользователя, запрашивая на решение в среднем 36 секунд. Эта работа может быть прервана запросами от оператора вычислительной системы, следующими в среднем через 10 минут, и обрабатываемыми за 6 секунд. В свою очередь, эти задачи могут прерываться сигналами от схем контроля вычислительной системы, поступающими с интенсивностью 0,6 час^-1, а неисправность устраняется в среднем за 10 минут. Определить среднее время ответа вычислительной системы оператору и пользователю.

Решение

Имеем СМО с 3-мя потоками и абсолютными приоритетами.

Приоритет 1 – сигнал от схем контроля, λ₁= 0,6 час^-1 = 0,01 мин^-1, υ₁ =10 мин, так что R₁ = λ₁υ₁ = 0,1.

Приоритет 2 – запросы оператора, λ₂ = 0,1 мин^-1, υ₂ = 0,1 мин, так что R₁ = 0,1+ λ₂υ₂ = 0,11.

Приоритет 3 – запросы пользователей, λ₃=1 мин^-1, υ₃ = 36 сек = 0,6 мин, так что R₃ = 0,11 + λ₃υ₃ = 0,71.

Искомые величины:

u₂ = w₂ + υ₂, u₃ = w₃ + υ₃,

Так что u₂ = 1,36 мин,

и u₃ = 0,6 + 5,38 ≈ 6 (минут).

Задача 4.3. Отправка телеграммы-молнии имеет абсолютный приоритет перед срочными и обычными телеграммами, а срочной – относительный приоритет перед обычными. Определить времена ожидания отправки телеграмм всех видов, если поток обычных телеграмм следует с интенсивностью 1/3 мин^-1, срочных – 1/10 мин^-1 и молний – 1 час^-1, а оператор отправляет телеграмму в среднем за 2 минуты.

Решение

У нас λ₁ = 1/60 мин^-1, λ₂ = 1/10 мин^-1 λ₃ = 1/3 мин^-1, υ₁ = υ₂ = υ₃ = 2 мин, так что R₁ = λ₁∙υ₁ = 0,033; R₂ = 0,033 + 2/10 = 0,233; R₃ = 0,233+ + 2/3 = 0,9.

Задача 4.4.Загрузка СМО заявками первого типа втрое больше загрузки заявками второго. После введения приоритета время ожидания заявок первого типа уменьшилось в 2 раза. Во сколько раз увеличилось время ожидания для заявок второго типа?

Решение.

Используя закон сохранения времени ожидания для СМО без потерь, имеем:

До введения приоритета: 3ρw + ρw = const,

после введения приоритета: ρw + хρw = const,

Откуда:

3ρw + ρw = ρw + х ρw,

или 3 + 1 = + х → х = = 2,5.

Домашнее задание.

1) Решить задачи 4.1 и 4.2 в предположении абсолютной надежности вычислительной системы и сравнить результаты решения.

2) После введения приоритетов время ожидания для заявки 1-го типа сократилось на час. На сколько часов при этом увеличилось время ожидания заявок 2-го типа, если загрузка СМО заявками 1-го типа втрое больше загрузки 2-го?

Контрольные вопросы.

1. Чем режим абсолютных приоритетов отличается от режима относительных приоритетов?

2. Что такое СМО с дообслуживанием? С возобновлением обслуживания?

3. Можно ли считать СМО с возобновлением обслуживания системой без потерь? Почему?

4. С какой целью вводится режим абсолютных приоритетов?

5. Из каких двух составляющих складывается среднее время ожидания в СМО с абсолютными приоритетами?

6. Обслуживание заявок какого приоритета не прерывается в СМО с абсолютными приоритетами?

7. При каких условиях справедлив закон сохранения времени ожидания?

8. Каковы особенности дисциплины обслуживания со смешанными приоритетами?