Студопедия
Обратная связь

Сколько стоит твоя работа?
Тип работы:*
Тема:*
Телефон:
Электронная почта:*
Телефон и почта ТОЛЬКО для обратной связи и нигде не сохраняется.

Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram 500-летие Реформации

Понятие экономичности системы счисления

Число в системе счисления р с k разрядами, очевидно, будет иметь наибольшее значение в том случае, если все цифры числа окажутся максимальными, т.е. равными р - 1. Тогда

Количество разрядов числа при переходе от одной системы счисления к другой в общем случае меняется. Очевидно, если р = qσ (σ - не обязательно целое), то (Zp)max = pk - 1 = qσk - 1. Т.е. количество разрядов числа в системах счисления р и q будут различаться в σ раз. Очевидно соотношение:

При этом основание логарифма никакого значения не имеет, поскольку σ определяется отношением логарифмов. Сравним количество цифр в числе 9910 и его представлении в двоичной системе счисления: 9910 = 11000112; т.е. двоичная запись требует 7 цифр вместо 2 в десятичной, σ = ln(10)/ln(2) = 3,322; следовательно, количество цифр в десятичном представлении нужно умножить на 3,322 и округлить в большую сторону: 2-3,322 = 6,644 = 7.

Введем понятие экономичности представления числа в данной системе счисления.

Под экономичностью системы счислениябудем понимать то количество чисел, которое можно записать в данной системе с помощью определенного количества цифр.

Речь в данном случае идет не о количестве разрядов, а об общем количестве сочетаний цифр, которые интерпретируются как различные числа. Поясним на примере: пусть в распоряжении имеется 12 цифр. Можно разбить их на 6 групп по 2 цифры («0» и «1») и получить шестиразрядное двоичное число; общее количество таких чисел, как уже неоднократно обсуждалось, равно 26. Можно разбить заданное количество цифр на 4 группы по три цифры и воспользоваться троичной системой счисления - в этом случае общее количество различных их сочетаний составит 34. Аналогично можно произвести другие разбиения; при этом число групп определит разрядность числа, а количество цифр в группе - основание системы счисления. Результаты различных разбиений можно проиллюстрировать таблицей:

Из приведенных оценок видно, что наиболее экономичной оказывается троичная система счисления, причем, результат будет тем же, если исследовать случаи с другим исходным количеством сочетаний цифр.

Точное расположение максимума экономичности может быть установлено путем следующих рассуждений. Пусть имеется п знаков для записи чисел, а основание системы счисления р. Тогда количество разрядов числа k = п/р, а общее количество чисел (N), которые могут быть составлены, равно:

Если считать N(p) непрерывной функцией, то можно найти то значение рт, при котором iN принимает максимальное значение. Функция имеет вид, представленный на рис.4.3.

Для нахождения положения максимума нужно найти производную функции N(p), приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение относительно р.

Приравнивая полученное выражение к нулю, получаем ln p = 1, или рт = е, где е = 2,71828... - основание натурального логарифма. Ближайшее к е целое число, очевидно, 3 - по этой причине троичная система счисления оказывается самой экономичной для представления чисел. В 60-х годах в нашей стране была построена вычислительная машина «Сетунь», которая работала в троичной системе счисления. Предпочтение все же отдается двоичной системе, поскольку по экономичности она оказывается второй за троичной, а технически она реализуется гораздо проще остальных. Таким образом, простота технических решений оказывается не единственным аргументом в пользу применения двоичной системы в компьютерах.

4.2.4. Перевод чисел между системами счисления 2 ↔ 8 ↔ 16

Интерес к двоичной системе счисления вызван тем, что именно эта система используется для представления чисел в компьютере. Однако двоичная запись оказывается громоздкой, поскольку содержит много цифр, и, кроме того, она плохо воспринимается и запоминается человеком из-за зрительной однородности (все число состоит из нулей и единиц). Поэтому в нумерации ячеек памяти компьютера, записи кодов команд, нумерации регистров и устройств и пр. используются системы счисления с основаниями 8 и 16; выбор именно этих систем счисления обусловлен тем, что переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется, как будет показано ниже, весьма простым образом.

Двоичная система счисления имеет основанием 2 и, соответственно, 2 цифры: 0 и 1.

Восьмеричная система счисления имеет основание 8 и цифры 0, 1.....7.

Шестнадцатеричная система счисления имеет основание 16 и цифры 0, 1, ..., 9, А, В, С, D, Е, F. При этом знак «А» является 16-ричной цифрой, соответствующей числу 10 в десятичной системе; В16 = 1110; С16 = 1210; D16 = 1310; Е16 = 1410; F16 = 1510. Другими словами, в данном случае А ... F - это не буквы латинского алфавита, а цифры 16-ричной системы счисления и поэтому они имеют только такое начертание (не могут быть представлены в виде, например, соответствующих строчных букв, как в текстах).

Пользуясь алгоритмами, сформулированными в разделе 4.2.1, можно заполнить табл. 4.1.

Докажем две теоремы.

Теорема 1. Для преобразования целого числа Zp Zq в том случае, если системы счисления связаны соотношением q = рr, где r - целое число большее 1, достаточно Zp разбить справа налево на группы по г цифр и каждую из них независимо перевести в систему q.

Доказательство:

Пусть максимальный показатель степени в записи числа р по форме (4.1) равен k - 1, причем, 2r > k -1 > r.

Таблица 4.1.

Вынесем множитель рr из всех слагаемых, у которых jr. Получим:

где

Таким образом, r-разрядные числа системы с основанием р оказываются записанными как цифры системы с основанием q. Этот результат можно обобщить на ситуацию произвольного k-1 > r - в этом случае выделится не две, а больше (т) цифр числа с основанием q. Очевидно, Zq = (bm … b0 )q.





 

Читайте также:

Пример 4.1

Формальная система

Эквивалентные автоматы

Характеристики канала связи

Глава 3. Кодирование символьной информации

Вернуться в оглавление: Теоретические основы информатики

Просмотров: 2071

 
 

54.158.21.176 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.