double arrow

Примеры решения задач. ЗАДАЧА 1. Пространство между обкладками плоского конденсато­ра заполнено без зазора двумя слоями диэлектриков

2

ЗАДАЧА 1. Пространство между обкладками плоского конденсато­ра заполнено без зазора двумя слоями диэлектриков, параллельными пластинам. Первый слой – фарфор толщиной d 1 = 2 мм, второй – эбонит толщиной
d 2 = 1,5 мм. Определить емкость C такого конденсатора, если площадь пластин S = 100 см2.

ДАНО: d 1 = 0,002 м d 2= 0,0015 м S = 0,01 м2
С –?

АНАЛИЗ. Для решения задачи представим конденсатор с диэлектриками как два последовательно соединенных конденсатора. Напряжение на конденсаторе равно U = U 1 +U 2, где U 1 и U 2 – напряженияна слоях диэлектрика. Чтобы найти емкость конденсатора С, необходимо знать U 1 и U 2. Для этого следует воспользоваться связью напряженности и потенциала и условиями на границе раздела двух диэлектриков, а также учесть, что нормальная составляющая вектора смещения при переходе через границу не меняется.

РЕШЕНИЕ. Емкость конденсатора равна C = q / U = q /(U 1 +U 2 ), (2.3.1)

где q – заряд пластины (рис. 2.3.1).

Поле внутри конденсатора однородно, поэтому связь напряжен­ности и потенциала дает

U 1 = E 1 d 1, U 2 = E 2 d 2; поэтому .

Рис. 2.3.1

Вектор напряженности связан с вектором электрического смещения соотношением или .

Поскольку


где – поверхностная плотность заряда, получаем

Проверим размерность: .

Подставив значения, получаем:

ОТВЕТ: С = 98,3 пФ.

ЗАДАЧА 2. Два плоских конденсатора одинаковой электроемкости (C 1 = C 2) соединены в батарею последовательно и подключены к источ­нику тока с электродвижущей силой . Как изменится разность потенциалов U 1 на пластинах первого конденсатора, если прост­ранство между пластинами второго конденсатора, не отключая источ­ника тока, заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e = 7 (рис. 2.3.2)?

ДАНО: C 1 = C 2; U 1 = const ; e = 7

AНАЛИЗ. До заполнения второго конденсатора диэлектриком разность потенциалов на пластинах обоих конденсаторов была одина­кова

После заполнения источник тока не отключался, поэтому общая раз­ность потенциалов на батарее конденсаторов осталась прежней, она лишь перераспределилась между конденсаторами. Учитывая, что емкость второго конденсатора увеличилась в e раз, можно найти новую разность потенциалов на первом конденсаторе .

РЕШЕНИЕ. После заполнения диэлектриком разности потенциалов на конденсаторах стали равны

, (2.3.2.)

где q – заряд обкладки конденсатора, q ¹ q 0 , электроемкость первого конденсатора не изменилась, C 1¢ = C 1 = C.

Поскольку при последовательном соединении конденсаторов заряд на каждой пластине и на всей батарее одинаков, то , где

тогда (2.3.3)

Подставив (2.3.3) в (2.3.2), получим

Искомое отношение равно

Правильность формулы по размерности очевидна. Подставив значения, получаем

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА 3. Радиус центральной жилы коаксиального кабеля 1,5 см, радиус оболочки 3,5 см. Между центральной жилой и оболочкой прило­жена разность потенциалов 2300 В. Вычислить напряженность электри­ческого поля на расстоянии 2 см от оси кабеля.

ДАНО: м м U = 2300 В r = 0,020 м
Е –?

АНАЛИЗ. Кабель можно уподобить цилиндрическому конденсатору. Электрическое поле создается только центральной жилой. Напряженность этого поля следует определять как напряженность поля бесконечной заряженной нити.

РЕШЕНИЕ. Напряженность поля кабеля равна

. (2.3.4)

Кабель заряжен равномерно, поэтому t= q / .

Заряд можно определить, если известна емкость конденсатора C, q = CU 0, тогда t= CU 0/ . (2.3.5)

Известно, что емкость цилиндрического конденсатора определяется по формуле: (2.3.6)

Используя выражения (2.3.5) и (2.3.6) получаем . (2.3.7)

Подставим (2.3.7) в равенство (2.3.4):

Правильность формулы по размерности очевидна. Подставив значения, получаем

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА 4. Плоский воздушный конденсатор с площадью пластины S = 500 см2, подключен к источнику тока, ЭДС которогоξ = 300 В. Определить работу А внешних сил по раздвижению пластин от рас­стояния d 1 = 1 см до d 2 = 3 см в двух случаях: а) пластины перед раздвижением отключаются от источника тока; б) пластины в процессе раздвижения остаются подключенными к нему.

ДАНО: ξ = 300 В d 1 = 0,01 м d 2 = 0,03 м S = 0,05 м2
А –?

АНАЛИЗ. В первом случае систему двух заряженных и отключенных от источника тока пластин можно рассматривать как изолированную систему, по отношению к которой справедлив закон сохранения энергии. В этом случае работа внешних сил равна изменению энергии системы , где W 2 энергия поля конденсатора в конечном состоянии (с рас­стоянием между пластинами d 2), W 1 энергия поля конденсатора в начальном состоянии(d = d 1).

Во втором случае пластины остаются подключенными к источнику тока, и система двух пластин уже не является изолированной (заряд пластин при их раздвижении перемещается к клеммам батареи). Разность по­тенциалов при раздвижении пластин остается неизменной U = ξ. В этом случае причем U = constC меняется. Емкость плоского конденсатора C = e0 S / d будет уменьшаться, следовательно, будет уменьшаться заряд на пластинах, q = CU, и напряженность поля конденсатора E = U/d.

В этом случае работу вычислим как интеграл , (2.3.8)

где E 1 напряженность поля, создаваемого зарядом одной плас­тины.

РЕШЕНИЕ. В первом случае заряд q каждой из пластин, отключенных от источника, при их раздвижении не меняется, q = C1x.

Энергия электрического поля конденсатора равна

поэтому . (2.3.9)

Электроемкости равны соответственно (2.3.10)

Подставив (2.3.10) в (2.3.9), получаем

Проверим размерность: .

Подставив значения, получаем .

Рассмотрим второй случай.

Выразим напряженность E 1 поля и заряд q через рас­стояние х между пластинами (рис. 2.3.3).

(2.3.11)

. (2.3.12)

Подставив выражения (2.3.11) и (2.3.12) в формулу(2.3.8), получаем

Проверим размерность: . Подставив значения, получаем

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА 5. Плоский конденсатор заряжен до разности потенциа­лов U = 1 кВ. Расстояние между пластинами d = 1 см, диэлектрик – стекло. Определить объемную плотность энергии конденсатора.

ДАНО: U = 1000 В d = 0,01 м ε = 7
w –?

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ.

Объемная плотность энергии конденсатора вычисляет­ся по формуле

причем напряженность поля плоского конденсатора E = U / d поэтому

Проверим размерность: . Подставив значения, получаем:

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА 6. Металлический шар радиусом R = 3 см несет заряд нКл. Шар окружен слоем парафина толщиной d = 2 см. Опре­делить энергию W электрического поля, заключенного в слое диэ­лектрика.

ДАНО: R = 0,03 м ε = 2 d = 0,02 м
W –?

АНАЛИЗ. Поле, созданное заряженным шаром, является неоднородным, поэтому энергия поля в слое диэлектрика распределена неравномерно. Однако объемная плотность энергии будет одинакова во всех точках, отстоящих на равных расстояниях от центра сферы, т. к. поле заряженного шара обладает сферичес­кой симметрией (рис. 2.3.4). Энергия в элементарном сферическом слое диэлектри­ка объемом dV равна , где w объемная плотность энергии.

Полная энергия равна инте­гралу .

РЕШЕНИЕ. Учитывая, что dV = 4p r 2 d r, где r – радиус элементарного сферического слоя толщиной , получаем

Объемная плотность энергии определяется выражением ,

причем напряженность поля E в сферическом слое диэлектрика ра­диусом r равна .

Тогда

Проверим размерность: . Подставив значения, получаем: ОТВЕТ:



Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  


2

Сейчас читают про: