2015-05-26
675
В отличие от действительных (вещественных) чисел, которые можно представить точками на числовой оси, комплексное число представляет собой более общее понятие числа и изображается точкой на числовой плоскости с прямоугольной системой координат +1, + j.
На рисунке 32 комплексное число 
представлено в виде точки в первом квадранте системы координат +1, + j числовой (комплексной) плоскости с координатами: а – по оси действительных +1 и b – по оси мнимых +j величин.
Комплексное число может быть представлено в алгебраической форме записи
|
где а – действительная (Re) часть числа: 
;
b – мнимая (Im) часть: 
;
– мнимая единица (j 2 = –1; –j 2 = +1).
Отрезок с (вещественное число), измеряемый от начала координат 0 (рис. 32), называется модулем (mod) комплексного числа: 
, 
. Угол a между отрезком с и осью вещественных +1, называется аргументом (arg) комплексного числа: 
, 
(рис. 32).
Рис. 32
Кроме алгебраической, существуют еще две равнозначные ей формы записи комплексного числа:
тригонометрическая, как это следует из рисунка 32,
|
и показательная
|
,
которая вытекает из тригонометрической формы(65) с учетом известных формул Эйлера
|
На практике обычно используют две формы записи комплексного числа: алгебраическую и показательную.
Сложение и вычитание комплексных чисел удобнее производить в алгебраической форме записи, а умножение и деление – в показательной форме.
Пусть заданы два комплексных числа в алгебраической и показательной форме записи:
и 
.
Сложение и вычитание производится следующим образом:
то есть отдельно складываются (вычитаются) действительные и мнимые части комплексных чисел: 
.
Умножение и деление можно производить, используя обе формы записи (алгебраическую и показательную), отдавая предпочтение показательной форме.
Проделаем эти операции, используя показательную форму записи:
умножение 
,
то есть модуль комплекса произведения с равен произведению модулей перемножаемых чисел, а аргумент произведения a равен сумме аргументов (c = c 1 c 2; a = a 1 + a 2);
деление 
,
то есть модуль частного получается делением модулей делимого и делителя, а аргумент – вычитанием соответствующих аргументов 
.
Множитель eja в показательной форме записи комплексного числа называется оператором поворота вектора на угол a в положительном направлении, то есть против часовой стрелки. Очевидно множитель e–ja – оператор поворота вектора на угол a в отрицательном направлении, то есть по часовой стрелке.
В частности, умножив в качестве единичного вектора положительную полуось действительных величин +1 на оператор 
(формула Эйлера), получим новый вектор +j, то есть положительную полуось мнимых величин. Таким образом: +j – оператор поворота на 90° против часовой стрелки, а – j – оператор поворота на 90° по часовой стрелке (в отрицательном направлении). Умножив положительную полуось действительных величин +1 на оператор поворота 
, получим отрицательную полуось мнимых величин.
Введем понятие о сопряженном комплексном числе. Сопряженным комплексным числом 
(рис. 32) называется такое число, которое отличается от исходного комплексного числа 
только знаком мнимой части (знаком аргумента в показательной форме записи). Если комплексное число имеет вид 
, то сопряженное с ним число 
. Покажем, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное число, равное квадрату модуля, то есть сумме квадратов двух действительных чисел:
при алгебраической форме записи
;
при показательной форме записи
.
Таким образом можно убедиться, что понятие комплексного числа является более общим по сравнению с действительными (вещественными) числами. В алгебре действительных чисел можно разложить на множители только разность квадратов: 
. Использование комплексных чисел позволяет разложить на множители (сопряженные комплексные числа) и сумму квадратов действительных чисел: 
.
При алгебраических операциях с комплексными числами, как правило, возникает необходимость устранения мнимой единицы 
в знаменателе дроби. Для этого необходимо домножить числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю комплексное число. Например, необходимо преобразовать выражение 
:
,
где c 2 = a 2 + b 2 – квадрат модуля исходного комплексного числа в знаменателе.
