Экзаменационный билет № ___17

1. Запись закона сохранения массы для трубы переменного сечения. Движение жидкости по трубам широко распространено в природе и технике. Например, течение рек, течение нефти по нефтепроводу, течение крови по кровеносным сосудам человека и животных и т. д.

Продувая струю воздуха между двумя шариками или листами плотной бумаги, подвешенными на нитях, можно наблюдать их взаимное притяжение. Похожее явление возникает при движении больших судов в узком канале, где суда значительно уменьшают сечение потока жидкости.

По всей видимости, давление внутри движущейся жидкости или газа уменьшается по сравнению с давлением окружающей среды.

Выясним зависимость давления жидкости от скорости её течения в трубе. Воспользуемся для этого законом сохранения механической энергии.

Рассмотрим движение идеальной жидкости в наклонном участке трубопровода, находящегося в поле земного тяготения.

Выделим мысленно некоторый элемент жидкости. Жидкость, находясь в движении, обладает кинетической энергией. Если она поднимается или опускается, то изменяется её потенциальная энергия.

Согласно закону сохранения энергии работа, совершенная над рассматриваемым элементом жидкости внешними силами, которые поддерживают движение жидкости или газа, должна быть равна изменению его полной механической энергии: A = Δ E _k + Δ E _p.

Пусть за небольшой промежуток времени жидкость перемещается вверх и вправо. (S ₁, S ₂ – поперечные сечения трубы слева и справа).

Левый участок жидкости перемещается на расстояние Δ x ₁, за то же время правый – на Δ x ₂. Массу перенесенной жидкости выделенного элемента можно определить, зная плотность жидкости и её объём: m = ρ ∙ V.

Изменение кинетической энергии выделенного элемента жидкости равно разности кинетических энергий рассматриваемых частей:

Изменение потенциальной энергии выделенного элемента жидкости равно: Δ E _p = m ∙ g ∙ (h ₂ – h ₁).

Работа, совершаемая над выделенным элементом внешними силами, равна:

Приравнивая работу внешних сил к изменению кинетической и потенциальной энергии выделенного участка жидкости, имеем:

После преобразования получаем следующее выражение:

Это уравнение названо в честь швейцарского математика и механика Даниила Бернулли уравнением Бернулли.

Если жидкость неподвижна, то из уравнения можно получить обычное соотношение между глубиной и давлением: p ₁ + ρ ∙ g ∙ h ₁ = p ₂ + ρ ∙ g ∙ h ₂.

Если p ₂ – давление наверху в жидкости, а (h ₂ – h ₁) – глубина h, отсчитываемая от поверхности жидкости, то получим: p = p ₀ + ρ ∙ g ∙ h, где p ₀ – атмосферное давление.

Если отбросить в уравнении Бернулли слагаемое, соответствующее потенциальной энергии, то получается соотношение между давлением и скоростью жидкости, движущейся горизонтально:

Вывод очевиден: где скорость велика, там мало давление.

Давление жидкости, текущей по трубе, меньше там, где скорость её течения больше, и, наоборот, где скорость течения жидкости меньше, давление там больше.

Можно проверить справедливость уравнения Бернулли на опыте. Через трубу переменного сечения, в которую впаяны манометрические трубки, пропускают жидкость. По высоте жидкости в манометрических трубках судят о давлении в разных сечениях трубы. На рисунке наименьшее давление – в среднем сечении трубы.

Уравнение Бернулли справедливо не только для жидкостей, но и для газов, если их сжатие мало.

Работа водоструйных насосов, автомобильных карбюраторов, пульверизаторов, водомеров и газомеров основана на уравнении Бернулли.

2. Физическое содержание гидравлического КПД насоса. Различают три вида коэффициента полезного действия, которые связаны с различными факторами, снижающими эффективность работы насоса.

Объемный КПД (h_V) насоса

учитывает обратное течение с расходом q, возникающее в зазорах насоса. Причиной появления такого течения является различие давления между всасывающим патрубком (где давление низкое) и внешней частью рабочего колеса, где давление относительно высокое. Если требуется от насоса расход Q, то на самом деле должен подавать расход Q + q.

Гидравлический КПД насоса (h_g) учитывает потери давления из-за действия сил трения, изменение направления движения жидкости и перехода ее в участки насоса с различными проходными сечениями, удары жидкости о колесо и лопатки, наличие вихревых движений жидкости.

Если p – требуемое давление, а p _g – потери давления по указанным причинам, то

Гидравлические потери пропорциональны квадрату скорости течения жидкости, или, расхода Q, обеспечиваемого насосом. Поэтому они сильно зависят от условий его работы, когда указывается интервал изменения h_g, то имеется в виду номинальный рабочий диапазон насоса, указанный фирмой-изготовителем.

Механический КПД (h_m) учитывает затраты на преодоление сил трения в подшипниках, уплотнителях (сальниках), предназначенных для удаления течи жидкости из зазоров и щелей. Потери мощности на силы трения W _f, мощность на валу W _v. Тогда