Сравнение теоретических и эмпирических законов распределения

В табл. 2.2 приведено сравнение по критерию Пирсона c ² эмпирического и теоретического распределений.

Критерии Пирсона и Романовского основываются на сравнении фактического и теоретического количества частот исследуемого показателя в разрядах (см. табл. 2.2). Число разрядов должно быть не менее пяти, а фактическая частота в разряде не менее трех [51]. Для теоретического распределения число степеней свободы определяется выражением:

,

где k – число разрядов (в табл. 2.2 k= 7);

r – число наложенных связей (для нормального распределения r = 3).

Вероятность P_i в табл. 2.2 вычисляли по формуле Симпсона
[70]:

(2.10)

которую применяли при m = 2:

(2.11)

где y_i – ординаты плотности распределения при нахождении абсцисс распределения в пределах от α до b.

При сравнении с нормальным законом распределения применяли также формулу вида:

(2.12)

где Ф(u) – функция Лапласа;

x_i+1 и x_i – абсциссы плотности распределения, ограничивающие интервалы в разрядах (см. табл. 2.2);

x_ср – среднее значение или математическое ожидание фактического распределения;

σ – среднее квадратическое отклонение исследуемого параметра.

В математической статистике / / принято считать совпадение теоретического и эмпирического распределения:

отличным при Р > 0,5;

хорошим при Р = 0,3 ÷ 0,5;

удовлетворительным при Р 0,1 ÷ 0,3;

неудовлетворительным при Р < 0,1.

Критерий В.И. Романовского:

.

(2.13)

Если критерий Романовского меньше 3, то соответствие фактической кривой распределения нормальному распределению следует считать хорошим.

Таблица 2.2

Сравнение эмпирического распределения ширины покрытия с законом нормального распределения

Разряды интервалов ширины покрытия, м	Абсолютная частота, hm	Вероятность попадания измерений в разряд, Pi	Теоретическое количество измерений в разряде (nT=Pi×n)
<15,2		0,00481	0,57760	0,57760
15,2-15,6		0,04133	4,95901	0,21852
15,6-16,0		0,16898	20,15805	0,06653
16,0-16,4		0,32573	38,96781	0,09937
16,4-16,8		0,29933	35,90811	1,03350
16,8-17,2		0,13240	15,76799	0,00341
>17,2		0,02742	3,29006	3,29006
	n= 120	1,00000		5,289

При числе степеней свободы n = 7 – 3 = 4 вероятность совпадения эмпирического и теоретического законов распределения Р =0,26, что в соответствии с методами математической статистики оценивается как удовлетворительное совпадение.

Критерий Романовского также говорит о том, что фактический закон распределения соответствует нормальному закону. По критерию В. И. Романовского:

R = (∑ χ _i² – ν)/(2 ν)^0,5 = (5,289 – 4)/ (2 · 4)^0,5 = 0,46.

На рис. 2.7 показано сравнение гистограммы распределения ширины четырехполосной дороги (в одном направлении) с плотностью нормального распределения.

Рис. 2.7 Сравнение распределения ширины проезжей части (гистограмма) с плотностью нормального распределения (кривая) при В=16,36 м и s = 0,45 м

В процессе проведения экспериментальных исследований по определению законов распределения ширины покрытия (измерено более 15км) на автомобильных дорогах с I,б по III категории было получено, что распределение ширины покрытия хорошо согласуется с плотностью нормального распределения.