Нормальное распределение (закон Гаусса)

Нормальное распределение задается плотностью вероятности

(3.39)

Можно показать, что функция удовлетворяет условию нормировки = 1.

Кривая имеет вид, изображенный на рис. 3.1.

Рис. 3.1.

Параметры и в формуле (2.20) являются соответственно математическим ожиданием () и средним квадратическим отклонением () нормально распределенной случайной величины .

Кривая нормального распределения симметрична относительно линии , поэтому .

Введем функцию Лапласа

(3.40)

Таблица значений функции приведена в прилож. 2. Свойства функции Лапласа

1) , т.е. монотонно возрастает.

2) ;

3) ;

4) , если ;

5) , т.е. нечетная функция.

Функция распределения для нормального закона находится через функцию Лапласа (2.21) по формуле

(3.41)

С помощью функции Лапласа находится вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал:

(3.42)

Для интервала, симметричного относительно математического ожидания, формула (2.23) дает следующее:

или

(3.43)

Если в формуле (2.24) положить , то получим

(3.44)

все (99,73%) значения нормально распределенной величины попадают в интервал . Этот факт называют «правилом трех сигм». Интервал I называется зоной практического рассеивания.

Нормальный закон встречается чаще всего в приложениях теории вероятностей. Им с большой моделируются реальные.распределения размеров и веса из­делий в одной партии, отклонения точек попадания снаряда от цели, ошибки измерений, распределение людей по росту, по интеллектуальным возможностям и т. д.