2015-06-10
455
| Район | Хороший улов | Средний улов | Плохой улов |
| А | 5 т/тр | 3 т/тр | 1 т/тр |
| В | 6 т/тр | 4 т/тр | 3 т/тр |
| С | 8 т/тр | 5 т/тр | 2 т/тр |
Матрица добычи при различных действиях рыбака и состояниях природы принимает вид.
Таблица 6
| Природа рыбак | Хороший улов | Средний улов | Плохой улов | Min строк |
| А | ||||
| В | ||||
| С | ||||
| Max столбца |
Существует несколько способов решения задач теории игр.
1 способ:
Определяем седловую точку матрицы. Если в матрице есть цифра, которая наименьшая в своей строке и наибольшая в своем столбце, то эта клетка и есть седловая точка матрицы. Она является решением игры, т.е. определяет разумные действия обоих противников. Цифровые значения седловой точки есть цена игры (цена игры – это то значение выигрыша одной из сторон и проигрыша другой стороны, которые получат оба игрока при разумных действиях). Это max из min выигрышей рыбака, а у противника это min из max проигрышей.
2 способ:
Если в матрице нет седловой точки, то сначала отбрасываются невыгодные или выгодные (доминирующие) одному из противников действия.
|
|
|
При наличии седловой точки, такой способ приведет к этой точке.
Отбрасывание доминирующих стратегий максимально упрощает матрицу.
В таблице 6 приведено решение задачи методом седловой точки. Это решение показывает, что лучшими условиями обеих игроков являются для рыбака район В, для природы – плохие уловы. Цена игры 18 т.
Аналогичное решение получим путем исключения для природы заведомо невыгодной стратегии – хорошие уловы, а потом средние уловы. В оставшемся столбце рыбак, естественно, выберет работу в районе В, поскольку лучше ловить по 18 т, чем 8т или 10 т.
Решение матрицы 2х2, не имеющей седловой точки, рассмотрим на примере.
Пример № 2:
Таблица 7
| Природа рыбак | Хороший улов | Средний улов | Плохой улов | Min строк |
| Донный трал | ||||
| Кошельковый невод | ||||
| Пелагический трал | ||||
| Max столб. |
матрица не имеет седловой точки: Для природы действие «плохой улов» явно лучше «хорошего улова» при любых действиях Рыбака. В оставшейся матрице 3х2 Рыбаку явно невыгодно применять пелагический трал.
Матрица 2х2 принимает вид.
Таблица 8
| Природа Рыбак | Средний улов | Плохой улов | 
|
| Донный трал | а11=20 | а12=40 | |
| Кошельковый невод | а21=70 | а22=30 |
Чистой стратегии для выигрыша нет, и действия необходимо применять с определенной частотой.
Частоты применения стратегий рассчитывается по формулам.
Задачу выбора смешанных действий или стратегий можно решить также по следующему алгоритму:
|
|
|
v Вычесть числа 1-ой строки из большего меньшее и записать результат напротив второй строки;
v Вычесть из большего меньшее второй строки и результат записать напротив 1-ой строки.
Отношение этих чисел дает частоту применения стратегий рыбака: Р1=2/3; Р2=1/3
. За природу частоту можно определить поступив точно также со столбцами.
Графическое решение этой задачи можно выполнить по схеме.
 |
Рис. 3. Графическое определение частот.
Цена игры по смешанным стратегиям определяется по следующим формулам:
- цена игры (3.2.1.)
(3.2.2.)
По нашему примеру:
При смешанных стратегиях действия игроков выполняются с заданной частотой случайным образом, используя компьютерное получение случайных чисел с заданной частотой или другой случайный выбор.
Формула для определения частоты:
(3.2.3.)
(3.2.4.)
Полученное методом теории игр решение дает наиболее осторожные действия промысловика при которых он получает min, но гарантированные результаты.
Вопросы для самопроверки
1. Представление промысла как конфликтной ситуации.
2. Сущность задачи теории игр.
3. Методы решения задач теории игр.
4. Решение задач теории игр размером 2х2 различными способами.
5. Применение результатов решение задачи теории игр.
