Теоретические основы

Выполнение условий Гаусса-Маркова гарантирует получение с помощью метода наименьших квадратов (МНК) при выборе надлежащей спецификации оценок параметров, удовлетворяющих требованиям состоятельности, эффективности и несмещенности. Рассмотрим нарушение условия, касающегося постоянства дисперсии остатков (D(е)¹const). В этом случае применение МНК не гарантирует эффективность получаемых оценок параметров уравнения регрессии.

Эффект потери эффективности в особенности проявляется при относительно больших по отношению к зависимой переменной (у) значениях остатков. Для визуального выявления наличия непостоянства дисперсии целесообразно построить диаграмму зависимости остатков от переменной х, а для множественной регрессии зависимость остатков (е) от результативного показателя (у). Гетероскедастичность в уравнении регрессии может быть как по одной объясняющей переменной, так и по нескольким, поэтому важно ее выявление по всем переменным.

Основными причинами появления гетероскедастичности являются: неправильная функциональная спецификация модели, значительные ошибки в исходной информации, а также отсутствие в модели переменной, существенно влияющей на результативный показатель. Такой переменной при получении модели по выборке, полученной за большой временной интервал может быть время.

При наличии подозрений на наличие гетероскедастичности целесообразно воспользоваться тестами. Тест ранговой корреляции Спирмена используется при относительно больших выборках и предположении, что дисперсия остатков будет либо уменьшаться, либо увеличиваться по мере увеличения х.

Очевидно, в этом случае абсолютные значения остатков (е=(у_i-ŷ_i)) и и значения объясняющей переменной (х_i) будут коррелированы.

Тестирование целесообразно проводить в следующем порядке:

1. Упорядочить (по возрастанию или убыванию х) выборочные данные.

2. Построить уравнение регрессии и получить значения остатков (е_i) для каждого х.

3. Вычислить ранги модулей остатков и найти разности между рангами независимой переменной (х_i) и рангами модулей остатков

4. Вычислить коэффициент корреляции r (х, е) между рангами переменной (х) и рангами модулей остатков (е_i).

r (х, е) =1 – (6 ,

где D_i – разность между рангом (х) и рангом модуля (е);

n – объем выборки.

Вычислить стандартизованную переменную r(х,е)· и в предположении, что при больших n указанная переменная имеет стандартное нормальное распределение. Проверить нулевую гипотезу Н_о: r(х,е)· =0. Для этого необходимо воспользоваться значением квантили стандартного нормального распределения. Например, для двустороннего критерия гипотеза об отсутствии гетероскедастичности будет отклонена, если при уровне значимости α=0,05 r(х,е)· >1,96.

Тест Гольдфельда-Квандта используется в случае относительно небольшого количества данных в предположении, что с увеличением х значения (е_i) увеличиваются, а значит σ(е_i) пропорционально значению независимой переменной х. Согласно этому тесту все данные упорядочиваются по мере увеличения х. После этого средняя часть выборки объема (с) отбрасывается. По освободившимся двум выборкам объема (n-с)/2 оцениваются отдельные регрессии. Если принятое предположение верно, то дисперсия остатков по последним (n-с)/2 значениям будет значимо больше дисперсии остатков по первым значениям.

При принятии допущения о нормальном распределении остатков отношение Fф=SS_ост2/SS_ост1 будет иметь F-распределение Фишера. При выполнении гипотезы об отсутствии гетероскедастичности значение Fф будет меньше критического (Fкр).

Порядок тестирования:

1. Упорядочить исследуемые данные по мере роста переменной (х).

2. Разделить исходную выборку на три части (выборки). Исключить центральную часть объемом ориентировочно (1/4...1/3) объема первоначальной выборки, при этом необходимо, чтобы (n-с)/2>К, где К – число оцениваемых параметров в уравнении регрессии.

3. Построить два уравнения регрессии (у₁ и у₂) по оставшимся частям (выборкам).

4. Найти значения сумм квадратов остатков (SS_ост) для каждого уравнения регрессии и по ним определить Fф=SS₂/SS₁. При этом необходимо, чтобы выполнялось условие SS₂>SS_1.

5. Используя F-распределение Фишера сравнить полученное значение Fф с критическим значением, соответствующим выбранному уровню значимости. При Fф>F_кр гипотеза об отсутствии гетероскедастичности будет отклонена.

Задание на работу.

1. Построить уравнение регрессии государственных расходов на образование в функции от валового внутреннего продукта (ВВП) по данным табл.1[7] и произвести тестирование на наличие гетероскедастичности, используя тесты ранговой корреляции Спирмена, Гольдфельда-Квандта. В предположении, что причиной наличия гетероскедастичности является неправильная спецификация модели. 2. В предположении, что причиной гетероскедастичности является ошибочная спецификация модели, учесть в модели численность населения, получив уравнение зависимости расходов на образование на одного человека в функции ВВП на одного человека. Произвести тестирование одним из тестов. 3. Произвести тестирование по индивидуальному заданию, используя оба теста и сделать выводы по всей работе.

Порядок выполнения работы:

1. Найти уравнение линейной регрессии.

2. Построить графики зависимости у_i (х_i), е_i (х_i), е_i (у_i) на основе визуального анализа выдвинуть гипотезу о наличии или отсутствии гетероскедастичности.

3. Провести тестирование по вышеуказанным тестам и дать анализ.

В отчете к лабораторной работе привести: исходные данные, графические зависимости у_i(х_i), е_i(х_i), е_i (у_i), расчетные таблицы при проведении тестирования, расчетные формулы и результаты анализа.

Таблица 1. Государственные расходы на образование (РО), валовой внутренний продукт (ВВП) и численность населения (ЧН) в выборке стран, 1980 г.

Таблица 1

Страна	РО	ВВП	ЧН
Люксембург	0,34	5,67	0,36
Уругвай	0,22	10,13	2,90
Сингапур	0,32	11,34	2,39
Ирландия	1,23	18,88	3,44
Израиль	1,81	20,94	3,87
Венгрия	1,02	22,16	10,71
Новая Зеландия	1,27	23,83	3,10
Португалия	1,07	24,67	9,93
Гонконг	0,67	27,56	5,07
Чили	1,25	27,57	11,10
Греция	0,75	40,15	9,60
Финляндия	2,80	51,62	4,78
Норвегия	4,90	57,71	4,09
Югославия	3,50	63,03	22,34
Дания	4,45	66,32	5,12
Турция	1,60	66,97	44,92
Австрия	4,26	76,88	7,51
Швейцария	5,31	101,65	6,37
Саудовская Аравия	6,40	115,97	8,37
Бельгия	7,15	119,49	9,86
Швеция	11,22	124,15	8,31
Австралия	8,66	140,98	14,62
Аргентина	5,56	153,85	27,06
Нидерланды	13,41	169,38	14,14
Мексика	5,46	186,33	67,40
Испания	4,79	211,78	37,43
Бразилия	8,92	249,72	123,03
Канада	18,90	261,41	23,94
Италия	15,95	395,52	57,04
Великобритания	29,90	534,97	55,95
Франция	33,59	655,29	53,71
ФРГ	38,62	815,00	61,56
Япония	61,61	1040,45	116,78
США	181,30	2586,40	227,64

Таблица 2. Исходная информация для индивидуального задания.

	Вариант1	Вариант2	Вариант3	Вариант4	Вариант5	Вариант6	Вариант7
x	y	y	y	y	y	y	y
	6,2954802	10,872768	11,59096	24,618305	10,99096	18,401389	8,8727683
	11,03354	18,853664	20,56708	44,5609912	19,66708	6,63399607	15,853664
	13,292276	22,867641	24,584552	52,6029237	23,384552	4,60502994	18,867641
	6,5114292	12,418287	10,522858	17,2548601	9,0228584	21,7451659	7,4182867
	13,5103	24,01648	24,0206	48,04944	22,2206	65,4566672	18,01648
	37,414441	62,663106	71,328883	159,989319	69,228883	75,6138047	55,663106
	31,46263	53,540208	58,92526	128,620624	56,52526	66,7110669	45,540208
	44,955229	75,528367	85,410459	190,585101	82,710459	8,18448307	66,528367
	25,489669	44,783471	45,979339	94,3504135	42,979339	43,7225599	34,783471
	16,611286	30,978057	27,722571	48,9341716	24,422571	58,0446098	19,978057
	68,656392	114,65023	131,31278	295,950682	127,71278	33,0313856	102,65023
	57,345683	96,953093	108,19137	238,859279	104,29137	47,1724935	83,953093
	42,703269	73,92523	78,406537	165,775689	74,206537	139,668665	59,92523
	67,047029	113,27525	126,59406	279,825739	122,09406	103,442781	98,275246
	21,034333	40,054933	34,068667	56,1648	29,268667	62,7429696	24,054933
	95,727531	159,96405	182,95506	411,892148	177,85506	53,1985013	142,96405
	20,579119	40,126591	32,158238	48,3797723	26,758238	228,883821	22,126591
	50,868648	88,989837	92,237297	190,969512	86,537297	214,210478	69,989837
	119,96948	199,95117	229,93896	519,853511	223,93896	178,778845	179,95117


Вариант8	Вариант9	Вариант10	Вариант11	Вариант12	Вариант13	Вариант14	Вариант15

y	y	y	y	y	y	y	y
21,695639	24,869549	783,29121	1707,4736	981,86401	20,3408	26,1760002	36,3464
40,338206	45,922758	425,15201	925,91498	534,440016	22,902738	30,1284219	41,579791
20,88757	19,359462	40,302023	76,570038	53,6275292	62,278542	80,098178	111,23745
20,017823	16,022279	522,35548	1155,906	656,444349	59,150609	76,9382611	106,51357
52,025056	53,78132	242,96625	535,42405	307,457808	36,138035	48,922544	66,991562
127,43815	145,79769	506,39387	1136,4802	636,99234	91,12833	118,410413	163,97458
145,48622	166,10778	613,42879	1389,3565	771,035981	132,24247	170,553087	236,67432
132,37245	147,46556	141,86694	317,31938	181,833674	37,966735	53,4584185	72,441786
40,140049	29,925062	211,27436	481,39308	268,842952	64,240944	87,0511795	119,17165
99,460128	101,82516	516,34083	1198,1286	650,426038	175,44694	226,808679	314,53215
124,33824	130,6728	315,48732	736,76757	399,609149	123,46071	162,575884	224,30624
87,527451	82,409314	341,46934	806,23969	432,33668	150,62972	197,287149	272,60201
112,00027	110,75034	213,78433	508,91797	272,980407	263,74801	339,435011	471,30902
256,5439	289,17988	131,93554	316,92074	170,919431	216,42683	281,03354	389,24696
202,80511	219,75639	94,43968	229,62722	124,2996	62,663808	89,5797601	120,91166
143,10056	142,8757	163,55779	404,77868	210,947233	275,70519	356,631489	494,48408
131,14649	125,68311	98,8034	248,44115	130,25425	80,419904	113,27488	153,48483
396,86081	455,57601	243,50292	621,28016	311,37865	349,05014	449,812677	624,33775
376,15036	427,43796	42,839351	113,25166	60,7991882	47,807031	74,0087893	97,912305
324,99832	361,2479	111,32145	295,96881	146,651814	121,32145	166,651814	227,31254