Определение. Расстоянием от точки М до прямой ℓ является длина перпендикуляра, опущенного из точки М на l прямую ℓ.
Рис.13
Теорема IV. Расстояние от точки М0(x0 ; y0)прямой ℓ, заданной уравнением общего вида: ℓ: Ах+Ву+С=0, вычисляется по
формуле: .
Доказательство.
Пусть в прямоугольной системе координат задана прямая ℓ: Ах+Ву+С=0 и т. М0(x0; y0), не лежащая на этой прямой. Вычислим расстояние от точки Мо до прямой ℓ. Заметим,что => || , где точка Н – основание перпендикуляра, опущенного из точки М0 на прямую ℓ, координаты которой Н(xH; yH).(Рис.13)
Тогда .
Откуда следует, что ρ(М0,ℓ) = ǀНМǀ= ǀ(, )ǀ/ǀ ǀ. Учитывая, что(, )= А(xH-x0) +B(yH-y0); и так как точка Н лежит на прямой ℓ, то есть АхН + ВуН + С=0, получаем:
(10)
Угол между двумя прямыми на плоскости.