Задачи для самостоятельного решения. 3.221.Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2; 1; –1) и имеет нормальный вектор =(1; –2; 3)

3.221. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M ₁(2; 1; –1) и имеет нормальный вектор =(1; –2; 3).

3.222. Точка Р (2; –1; –1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.

3.223. Даны две точки М ₁(3; –1; 2) и М ₂(4; –2; –1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ перпендикулярно к вектору .

3.224. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M ₁(3;4; –5) параллельно двум векторам = (3; 1; –1) и = (1; –2; 1).

3.225. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M ₁(2; –1; 3) и М ₂(3; 1; 2) параллельно вектору = (3; –1; 4).

3.226. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: М ₁(3; –1; 2), М ₂(4; –1; –1) и М ₃(2; 0; 2).

3.228. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости:

1) 2 х– 3 у+ 5 z– 7=0, 2 х– 3 у+ 5 z+ 3=0;

2)4 х+ 2 у– 4 z+ 5=0, 2 х+у+ 2 z– 1=0;

3) х– 3 z+ 2=0,2 х – 6 z– 7=0.

3.229. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:

1) 3 х–у– 2 z– 5=0, х +9 у– 3 z +2=0; 2) 2 х +3 у–z –3=0, х–у–z +5=0;

3) 2 х– 5 у + z =0, x +2 z –3=0.

3.230. Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять параллельные плоскости:

1) 2 х + lу +3 z– 5=0, mх– 6 у- 6 z +2=0;

2) 3 х–у + lz– 9=0, 2 х + mу +2z–3=0;

3) mx +3 у– 2 z– 1=0, 2 х– 5 у–lz= 0.

3.231. Определить, при каком значении l следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости:

1) 3 х– 5 у + lz– 3=0, х +3 у +2 z +5=0;

2) 5 х + у– 3 z –3=0, 2 х + lу –3 z +1=0;

3) 7 х –2 у – z =0, lх + у– 3 z– 1=0.

3.232. Определить двугранные углы, образованные пересечением следующих пар плоскостей:

1) х–у + z– 1=0, х + у –z +3=0;

2) 3 у–z =0, 2 у +z=0;

3) 6 х +3 у– 2 z =0, х +2 у +6 z– 12=0;

4) х +2 у +2 z– 3=0, 16 х +12 у– 15 z– 1=0.

3.233. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости 5 х– 3 у +2 z– 3=0.

3.234. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям: 2 х–у +3 z– 1=0, х +2 у + z =0.

3.235. Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки М ₁(1; –1; –2) и M ₂(3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости х– 2 у +3 z– 5=0.

3.240. Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1) через точку М ₁(2; –3; 3) параллельно плоскости Оху;

2)через точку М ₂(l; –2; 4) параллельно плоскости Oxz;

3) через точку М ₃(–5; 2; –1) параллельно плоскости Oyz.

3.241. Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1) через ось Ох и точку М ₁(4; –1; 2);

2) через ось Оу и точку М ₂(1; 4; –3);

3) через ось Oz и точку М ₃(3; –4; 7).

3.242. Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1) через точки М ₁(7; 2; –3) и М ₂(5; 6; –4) параллельно оси Ох;

2) через точки P ₁(2; –1; 1) и Р ₂(3; 1; 2) параллельно оси Оу;

3) через точки Q ₁(3; –2; 5) и Q ₂(2; 3; 1) параллельно оси Oz.

3.243. Найти точки пересечения плоскости 2 х– 3 у– 4 z– 24=0 с осями координат.

3.244. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью 3 х– 4 у– 24 z +12=0 на координатных осях.

3.245. Вычислить площадь треугольника, который отсекает плоскость 5 х– 6 у +3 z +120=0 от координатного угла Оху.

3.246. Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью 2 х– 3 у +6 z– 12=0 и координатными плоскостями.

3.247. Плоскость проходит через точку M ₁(6; –10; 1) и отсекает на оси абсцисс отрезок a = –3 и на оси аппликат отрезок с =2. Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках».

3.248. Плоскость проходит через точки M ₁(1; 2; –1) и M ₂(–3; 2; 1) и отсекает на оси ординат отрезок b= 3. Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках».

3.249. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M ₁(2; –3; –4) и отсекает на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным из начала координат).

3.250. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки M ₁(–1; 4; –1), М₂ (–13; 2; –10) и отсекает на осях абсцисс и аппликат отличные от нуля отрезки одинаковой длины.

3.251. Составить уравнения плоскостей, которые проходят через точку M ₁(4; 3; 2) и отсекают на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой длины.

3.252. Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси Oz отрезок с= – 5 и перпендикулярной к вектору = (–2; 1; 3).

3.253. Составить уравнение плоскости, параллельной вектору =(2; 1; –1) и отсекающей на координатных осях Ох и Оу отрезки а = 3, b = –2.

3.254. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости 2 х –2 у +4 z –5=0 и отсекающей на координатных осях Ох и Оу отрезки а= –2 и b = соответственно.

ОТВЕТЫ:

3.221. .

3.222. 3.223. х–у– 3 z+ 2=0. 3.224.

3.225. 3.226.

3.227. 1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) 6) 3.228. 1) и 3)

3.229. 1) и 2) 3.230. 1) l =3, m = –4; 2) l =3, m = – ; 3) l = –3 , m = –1 .

3.231. 3.232. 1) и 2) и ; 3) 4) и . 3.233. 3.234. 7 x–y– 5 z = 0. 3.235. 4 x– у– 2 z –9=0.

3.236. x = 1; у = –2; z = 2. 3.239. 1) а ≠ 7; 2) а = 7, b = 3; 3) а = 7, b ≠ 3.

3.240. 1) z – 3 = 0; 2) у + 2 = 0; 3) х + 5 = 0. 3.241. 1) 2 у + z = 0; 2) 3 x + z = 0;

3) 4 x +3 у = 0. 3.242. 1) у +4 z +10= 0; 2) х–z– 1=0; 3) 5 x + у – 13= 0. 3.243. (12; 0; 0),

(0; –8; 0), (0; 0; –6). 3.244. a = –4, b = 3, с = . 3.245. 240 кв.ед. 3.246. 8 куб.ед.

3.247. . 3.248. 3.249. x+ y+ z+ 5= 0.

3.250. 2 x– 21 у + 2 z + 88 = 0, 2 x– 3 у– 2 z + 12 = 0. 3.251. х + у + z –9 = 0,

x– у– z + 1 = 0, х– у + z– 3 = 0, х + у– z– 5 = 0. 3.252. 2 x– у– 3 z– 15 = 0.

3.253. 2 x– 3 у + z– 6 = 0. 3.254. х– 3 у– 2 z + 2 = 0.