Якщо радіус-вектор точки площини , радіус-вектор точки а її нормальний вектор. то рівняння (3.18) можна записати у векторній формі
Якщо і направляючі вектори площини (вектори, які паралельні площині або лежать в площині), то вектор а тому може бути прийнятий за нормальний вектор площини
Тоді рівняння площини можна записати у вигляді
(3.24)
Нехай задана точка радіус-вектор якої позначимо через Віддаль від точки до площини краще всього визначити як висоту паралелепіпеда, побудованого на векторах , поділивши об’єм паралелепіпеда на площу основи (рис.3.14). Ми одержимо
Але для кожного нормального вектора площини можна вибрати направляючі вектори і такими, щоби Тому ми маємо
Рис.3.14 або в координатній формі
В силу того, що точка маємо
звідки Тоді одержимо формулу для обчислення віддалі від точки до площини заданої рівнянням
(3.25)
Приклад 1. Задані чотири точки і .
а) Перевірити чи лежать чотири точки в одній площині;
Написати рівняння:
|
|
б) площини що проходить через три точки
в) площини , що проходить через точку і паралельна площині
г) площини , що проходить через точки і перпендикулярна
площині
д) площини що проходить через точки
Обчислити:
е) кут між площинами і
є) віддаль між площинами і
Р о з в ‘ я з о к.
а) Знайдемо вектори Точки лежатимуть в одній площині тоді, коли вектори компланарні (змішаний добуток трьох векторів дорівнює нулю):
Отже вектори некомпланарні, а значить, точки не лежать в одній площині.
б) Запишемо рівняння площини , що проходить через три заданих точки :
в) Рівняння площини , що проходить через точку
Оскільки і паралельні, то
г) Рівняння площини шукаємо у вигляді (рівняння площини, що проходить через точку ) . Коефіцієнти знаходимо із умов: тоді
і після ділення рівняння на
одержимо
д) Рівняння площини , що проходить через точки
е) Кут між площинами і визначається як кут між їх нормальними векторами і
або
є) Віддаль між двома паралельними площинами і знаходимо як віддаль від довільної точки, що лежить в площині наприклад до площини
Приклад 2. Записати рівняння площини, що проходить через точку і вісь
Р о з в ‘ я з о к. Рівняння площини шукаємо у вигляді Оскільки площина проходить через вісь то точки , лежать в даній площині; значить, і рівняння шуканої площини має такий вигляд (після ділення на )