Орієнтування ліній

1 2 3

Топографія з основами картографії. Екологи II курс

Лекція 3

Тема: Пряма та оберненя геодезична задачі.

Полярна система координат.

Зв’язок прямокутної і полярної системи координат.

Орієнтування ліній.

1. Полярна система координат.

Координати початком відліку яких є будь-яка точка місцевості і через неї довільно

проведено пряму що називають полюсом (О) та називають полярною віссю (OX), то положення будь-якої точки (м) буде визначатись радіус-вектором r₁ кутом напряму а_1. Такі координати називаються полярними. Полярна вісь площини (ox) може розміщуватись довільно або співпадати з напрямом якого-небудь меридіана, проведена через полюс O. (рис. 1)

2. Зв'язок прямокутної і полярної системи координат.

Простота полярної системи координат і можливість її побудови відносно будь - якої точки місцевості, що приймається за полюс, зумовили її широке застосування в топографії. Щоб пов’язати в єдине полярні системи окремих точок місцевості, необхідно перейти до визначення положення точок в системі прямокутних координат, яка може бути розповсюджена на значно більшу за площею територію. Зв’язок між двома системами встановлюється прямою і оберненою геодезичними задачами.

Пряма геодезична задача полягає у визначенні координат кінцевої точки лінії по довжині її горизонтального прокладення, напрямком і координатами початкової точки.

Рис. 2.

Так, якщо прийняти точку А за полюс полярної системи координат, а пряму АС за полярну вісь, паралельну осі OX, то полярними координатами точки В будуть r і необхідно вирахувати прямокутні координати цієї точки в системі XOY.

З малюнка видно, що X_B відрізняється від X_A на величину

(X_B- X_A)=∆X, а y_Bвідрізняється від y_A на величину (y_B- y_A)=∆y. Різниці координат кінцевої B і початкової A точок ліній AB∆x і ∆y називають приростами

координат. Про цьому координати X_B іY_B можуть бути обчислені за формулами:

X_B = X_A + ∆X_AB;

Y_B = Y_A + ∆Y_AB; (1)

Значення приростів визначаються з прямокутного трикутника ABC за заданими S і α, оскільки прирости ∆X і ∆Y є катетами цього прямокутного трикутника.

∆X_AB = S cos α; ∆Y_AB = S sin α (2)

Прирости координат мають різні знаки. Знак приростів залежить від знака косинуса і синуса кута напрямку або від назви чверті прямокутної системи координат (табл. 1)

Табл. 1

Кут напрямку ⁰	Чверть	Знаки приростів
∆X	∆Y
0 – 90 90 – 180 180 – 270 270 - 360	I Пн. Сх. II Пд. Сх. III Пд. Зах. IV Пн. Зах.	+ - - +	+ + - -

Підставивши значення приростів ∆X і ∆Y у рівняння (1) одержимо формули для розвязання прямої геодезичної задачі:

X_B = X_A + S cos α;

Y_B = Y_A + S sin α; (3)

Обернена геодезична задача полягає у визначенні довжини горизонтального прокладення S і кута напрямку α лінії AB за заданими координатами її початкової точки A (x_A;y_A) і кінцевої B (x_B;y_B). Кут напрямку можна визначити обчисливши його тангенє за катетами прямокутного трикутника:

Tgα = = ; (4)

Горизонтальне прокладення S згідно з формулою (2) можна визначити за формулами:

S= = ;

(5)

S= = ;

Обернену задачу можна розв’язати в такій послідовності: спочатку обчислити горизонтальне прокладення S за теоремою Піфагора S = (6), а потім обчислити кут напрямку α за формулами, згідно (5).