1. Основное свойство
Для двойного векторного произведения трёх векторов , , справедливо равенство
. (1)
Доказательство. Проекции векторного произведения векторов и на координатные оси , , равны
(2)
Для проекций векторного произведения векторов и имеем
(3)
Чтобы убедиться в справедливости доказываемого равенства (1), достаточно показать, что
Действительно, согласно первого из равенств (3), .
После тождественных преобразований (в правой части прибавим и вычтем ) имеем
или, что то же самое,
и, наконец,
Аналогично доказывается справедливость равенств
Следовательно,
то есть
.
Таким образом, , что и требовалось доказать.
2. Для двойного векторного произведения трёх векторов справедливы равенства
Доказательство. Равенства непосредственно следуют из свойств векторного произведения двух векторов.
3. Если векторы и коллинеарны, то .
Доказательство. Для коллинеарных векторов и справедливо равенство , откуда с очевидностью следует утверждение.
4. Если вектор перпендикулярен векторам и , то
|
|
Доказательство. Для перпендикулярных векторов , и соответственно , имеем и потому, согласно формуле (1), действительно .
5. Если вектор перпендикулярен вектору , то .
Доказательство. Так как векторы и перпендикулярны, то и, в силу формулы (1), убеждаемся в справедливости утверждения.
6. Если вектор перпендикулярен вектору , то .
Доказательство. Так как векторы и перпендикулярны, то и, в силу формулы (1), убеждаемся в справедливости утверждения.