Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вариант 2

1. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (a– 3 b)(2 a + b), б) |(a– 3 b) ´ (2 a + b)|,

где | a |=4, | b |=2, a^b =2p/3.

2. Найти координаты точки M, равноудаленной от точек A(2;3;3) и B(–1;1;–2), если точка М лежит на оси Оy.

3. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A(3;2;1),B(1;–2;3),C(0;–1;4),D(2;1;0).

4. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2;4;2), b = (–1;–2;–2),
c = (3;5;1), d = (3;5;–1).

5. Определить при каких значениях a и b две прямые

3 x+ (a– 2) y– 6 = 0 и 6 x– 4 y+b= 0

а) пересекаются; б) параллельны; в) совпадают.

6. Из точки A(5;2) выходит луч света под углом j=arctg2 к оси Ox и отражается от нее. Написать уравнения падающего и отраженного лучей. Сделать чертеж.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

8. Построить кривую r = 5(2–sinj), заданную в полярных координатах.

9. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F₁(–7;0) и F₂(5;0) есть величина постоянная и равна p=20. Сделать чертеж.

10. Привести уравнение 3 x ²–5 y ²+18 x +10 y +37=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.