Санкт-Петербург. Отчёт по лабораторной работе № 4

1 2

Отчёт по лабораторной работе № 4.

По дисциплине: Общая и техническая физика

(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

Тема: Измерение параметров электромагнитного контура

Выполнил: студент гр. НГ-07-2 ______________ / Хабибуллин Э.И. /

^{(подпись)} ^(Ф.И.О.)

ОЦЕНКА: _____________

Дата: __________________

ПРОВЕРИЛ:

Преподаватель: ______ ____________ /Пантюшин/

^{(должность) (подпись) (Ф.И.О.)}

Санкт-Петербург

2008 год.

Цель работы: Экспериментальное определение индуктивности и добротности электромагнитного контура

Общие сведения

Период колебаний -время одного полного колебания.

Индуктивность контура равна отношению собственного магнитного потока, созданного некоторым током, протекающим по контуру, к силе этого тока.

Электроёмкость данного проводника это величина равная отношению заряда, сообщённого проводнику, к изменению потенциала, вызванному этим зарядом.

ДобротностьQ,величина обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания.

Электрический колебательный контур состоит из ёмкости С, индуктивности L ₁ и активного сопротивления R проводов (рис.2). При помощи функционального генератора (FG) напряжение прямоугольных импульсов низкой частоты (f _о ≈ 500 Гц) подается на катушку возбуждения L. Резкое изменение магнитного поля вызывает появление напряжения в катушке L ₁и создает за счёт активного сопротивления затухающие свободные колебания в колебательном L ₁ C– контуре, частота ƒ (период Т) и амплитуда напряжений которых измеряется с помощью осциллографа (Аналоговый вход CH1). Для контура L ₁ C имеются катушки различных длин l, диаметров 2 r и числа витков N (соответствующие значения для номера каждой катушки представлены в таблице 2), емкость считается известной и установлена в разъёмник. Внешний вид всей установки представлен на рисунке 1.

Таким образом, благодаря импульсному характеру наведенного внешнего магнитного поля с катушки L на катушку L ₁, в последней возникает индукционный ток, впоследствии чего конденсатор С начинает заряжаться, а потом разряжаться. Такие периодические изменения зарядов, напряжений и токов в контуре носят название электромагнитных колебаний. При этом происходит непрерывный переход энергии электрического поля в конденсаторе в энергию магнитного поля в катушке и обратно. В некоторый момент времени полная энергия колебаний:

где U и i – мгновенные значения разности потенциалов и тока. В те моменты времени, когда конденсатор полностью разряжен (U = 0), ток достигает максимального значения I_m _,и полная энергия контура равна энергии магнитного поля:

Полная энергия колебаний постепенно уменьшается, так как электрическая энергия благодаря сопротивлению проводов R непрерывно превращается в тепловую и рассеивается в окружающее пространство.

Составим дифференциальное уравнение колебаний в контуре. Пусть q – мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора и U – разность потенциалов между обкладками в тот же момент времени. Тогда полное напряжение в цепи равно сумме действующих ЭДС. Так как в цепи действует только ЭДС самоиндукции:

Подставив в это равенство значения , получим:

, (1)

Разделим обе части уравнения (1) на L ₁ и введём обозначения:

, (2)

(3)

где величина a называется коэффициентом затухания; w ₀ – собственная частота колебаний контура. Тогда дифференциальное уравнение колебаний примет вид:

(4)

Уравнение (4) – линейное дифференциальное уравнение второго порядка с обыкновенными производными и постоянными коэффициентами. Решения этого уравнения имеют различный вид в зависимости от соотношения между коэффициентами. Положим, что w ₀ > a, тогда:

(5)

где q ₀ – максимальное значение заряда на обкладках конденсатора; j – начальная фаза колебаний; w – частота затухающих электрических колебаний:

. (6)

При R = 0 и a = 0

а период этих колебаний (рис.3, кривая 1) составляет:

. (7)

В случае затухающих колебаний R ¹ 0 (рис.3, кривая 2) и период:

. (7 ’)

Решение (5) является аналитическим выражением затухающих колебаний. Большему значению коэффициента a соответствует кривая 3 (рис.3). Хотя затухающие колебания не являются периодическим процессом в строгом смысле этого слова, они обладают определённой повторяемостью в том смысле, что максимальные и минимальные значения заряда, а также тока и напряжения достигаются через одинаковый промежуток времени. Этот промежуток времени и называется периодом Т затухающих колебаний.

Для выяснения физического смысла коэффициента a рассмотрим тепловые потери W_R на сопротивлении R за полупериод Т /2:

где < Р > – среднее за период значение тепловой мощности, выделившейся на сопротивлении R. Для синусоидального тока:

Полный запас энергии колебательного контура:

Отношение энергии, израсходованной в контуре за полупериод на нагревание W _R (тепловые потери), к энергии колебаний W _L:

Используя обозначения (2),получим:

где q называется логарифмическим декрементом, который вместе с коэффициентом затухания характеризует потери энергии в контуре.

Как следует из (6), при a > w ₀ частота w оказывается мнимой, т.е. колебаний в контуре не будет. Разряд конденсатора будет апериодическим (рис.3 кривая 4 и 5). Логарифмический декремент может быть определён и другим путём. Пусть q _n и q _n₊₁ – амплитуды заряда конденсатора в момент времени t _n и t _n₊₁, причём t _n₊₁= t + T. Тогда ; и, следовательно,

Как видно из полученного соотношения, отношения последующих амплитудных значений заряда не зависит от номера максимумов и является постоянной величиной для данного контура.

Прологарифмируем соотношение:

. (8)

Таким образом, логарифмический декремент контура можно определить, как натуральный логарифм отношения последующих амплитуд заряда конденсатора. В радиотехнической практике чаще пользуются величиной, обратно пропорциональной логарифмическому декременту q и называемой добротностью Q:

или . (9)

Добротность контура может быть представлена и так:

где N – полное число колебаний, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Следовательно, чем выше добротность, тем медленнее рассеивается запас энергии контура.

Если ток силой проходит через катушку L ₁ (соленоид) длиной , поперечным сечением и количеством витков , в катушке возникает магнитное поле. При l >> r магнитное поле однородно, а его напряженность рассчитывается по формуле:

(10)

Магнитный поток через катушку равен:

(11)

где μ_ο –магнитная постоянная, μ – магнитная проницаемость среды.

При изменении магнитного потока возникает напряжение на концах катушки,

(12)

где

(13)

является индуктивностью катушки (коэффициентом самоиндукции).

Выражение (13) справедливо только в случае однородного магнитного поля при l >> r.

На практике значение индуктивности катушек при l > r можно рассчитать по формуле:

, при (14)

В ходе выполнения эксперимента можно рассчитать индуктивность катушек с различными характеристиками, исходя из собственной частоты колебательного контура:

(15)

Следовательно, индуктивность можно рассчитать по формуле:

(16)

Основные расчётные формулы:

1. Коэффициент затухания

где q_n и q_n₊₁ – амплитуды заряда конденсатора в момент времени t_n и t_n₊₁; Т – период колебаний.

2. Добротность контура

3. Период колебаний

где L – индуктивность; R – активное сопротивление; C – емкость.

4.Индуктивность

, при

где l-длина, N-количество витков, r-радиус.

5. Индуктивность

где f-частота, C-емкость.

Формулы погрешности:

1. Относительная погрешность косвенных измерений периода колебаний

2. Относительная погрешность косвенных измерений коэффициента затухания

3. Относительная погрешность косвенных измерений добротности контура

Схема установки:

Таблица результатов эксперимента:

№ катушки	С, мкФ	q_n_,мм	q_n_+1,мм	Т_эксп, с	Т_расч, с	L _{1 эксп}, мГн	L _{1 расч}, мГн	ln(q_n/q_n+1)	a,c^-1	Q
	0,47	0,27	0,2	0,146	0,00022	2,15*10^-4	2,67	0,30	2,06	0,223
	0,47	0,1475	0,115	0,14	0,00018	2,15*10^-4	1,81	0,25	1,78	0,247
	0,47	0,1	0,085	0,1	0,00015	2,15*10^-4	1,26	0,16	1,63	0,193
	0,47	0,2075	0,1625	0,14	0,00017	2,15*10^-4	1,63	0,24	1,75	0,252
	0,47	0,1325	0,115	0,09	0,00011	2,15*10^-4	0,68	0,14	1,57	0,180
	0,47	0,06	0,0525	0,06	0,00008	2,15*10^-4	0,31	0,13	2,23	0,085