Окружностью называется геометрическое место точек, для каждой из которых, расстояние до фиксированной точки, называемой центром, постоянно.
Выведем уравнение окружности в декартовой системе координат. Пусть точка - центр окружности, - расстояние от центра до произвольной точки , принадлежащей окружности (радиус окружности). По определению окружности , т.к.
,
откуда . После возведения в квадрат обеих частей равенства, получим уравнение окружности радиуса с центром в точке :
.
Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение окружности примет вид: .
Если в левой части уравнения раскрыть скобки, привести подобные и ввести обозначения: , то его можно записать в виде: .
При умножении или делении обеих частей данного уравнения на произвольное число, отличное от 0, коэффициенты при и уже не будут равны 1, но должны быть равны друг другу.
Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением .
Сгруппируем слагаемые, содержащие переменные и , и вынесем за скобку имеющиеся общие множители:
|
|
.
В скобках выделим полный квадрат:
.
Раскрывая квадратные скобки и сокращая обе части уравнения на 4, получим
.
Сравнивая полученное уравнение с уравнением окружности в общем виде, найдем, что координаты центра а радиус окружности .
Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек, для каждой из которых, сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, постоянна и больше расстояния между фокусами.
Выведем уравнение эллипса в декартовой системе координат. Расположим фокусы эллипса на оси симметрично началу координат в точках и . и — расстояния от произвольной точки эллипса до фокусов. Тогда, по определению эллипса , где — сумма расстояний. Из определения также следует, что . Поскольку
,
то .
Преобразуем выписанное равенство, возведя вначале обе его части в квадрат:
Раскроем скобки, приведем подобные:
Введем обозначение и разделим на 2 обе части уравнения:
или .
Снова возведем в квадрат обе части равенства:
.
После упрощения:
или .
Разделив обе части последнего равенства на , получим каноническое уравнение эллипса:
.
В уравнении использовано обозначение .
Из уравнения следует, что эллипс должен проходить через точки , которые называются вершинами эллипса. Соединяя эти точки плавной линией, получим изображение эллипса, заданного каноническим уравнением.
Из рисунка видно, что эллипс имеет две оси симметрии и центр симметрии. Параметры и в уравнении эллипса называются его полуосями, т.к. равны половине длины соответствующих осей симметрии, отношение называется эксцентриситетом эллипса ().
|
|
Заметим, что если фокусы эллипса расположены на оси , то , если же фокусы расположены на оси , то наоборот, .
Пусть теперь центр эллипса расположен в произвольной точке , а оси симметрии параллельны координатным осям. Проведем через центр эллипса вспомогательную систему координат . В этой системе координат можно получить каноническое уравнение эллипса:
.
Из рисунка видно, что координаты произвольной точки на эллипсе в исходной и вспомогательной системе координат связаны соотношениями:
Используя эти равенства, получим уравнение эллипса со смещенным центром:
.
Чтобы нарисовать эллипс по данному уравнению, нужно отметить центр эллипса , провести через него вспомогательную систему координат , отметить в ней вершины эллипса и соединить плавной линией.
Пример. Изобразить эллипс по его уравнению:
Координаты центра , отметим его на координатной плоскости. Проведем через вспомогательные оси и . Чтобы отметить вершины эллипса вправо и влево от по оси отложим по 4 единицы (т.к. ), а вверх и вниз по оси отложим по 3 единицы (т.к. ). Соединим полученные точки плавной линией.
Указанное в данном примере уравнение можно записать в другом виде:
.
Обе части исходного уравнения умножили на 144.
Раскроем скобки и приведем подобные:
.
В общем виде подобное уравнение можно записать так:
. (*)
Отметим, что в уравнении эллипса коэффициенты и могут различаться по величине, но должны совпадать по знаку.
Обратный переход от уравнения вида (*) к уравнению со смещенным центром, можно выполнить аналогично примеру, рассмотренному в предыдущем пункте.