Определение плоскости Лобачевского. Аксиома Лобачевского

Исследования пятого постулата Евклида, эквивалентного аксиоме параллельности V системы аксиом Гильберта, привели к открытию геометрии, не являющейся евклидовой, — к неевклидовой геометрии. Считается, что первым, кто открыл неевклидову геометрию, был русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856). Суть его исследований состояла в том, что он заменил аксиому параллельности V ее отрицанием, которое получило название аксиомы Лобачевского:

V . Через точку, не лежащую на данной прямой, в плоскости, ими определяемой, проходит по меньшей мере две прямые, не пересекающие данную.

Заменив аксиому параллельности евклидовой геометрии своей аксиомой, Лобачевский доказал ряд новых утверждений, в корне отличающихся от теории Евклида. Тем самым он получил геометрию, которую назвал "воображаемой геометрией" и открыто заявил о ней в 1826 году. В последствии эта геометрия была названа геометрией Лобачевского

Определение [1.1]. Плоскостью Лобачевского называется множество, состоящее из элементов двух родов, называемых точками и прямыми и удовлетворяющих аксиомам I—IV групп системы аксиом Гильберта (исключая аксиомы, относящиеся к пространству) и аксиоме V .

Заметим, что аксиомы I—IV групп аксиоматики Гильберта лежат в основе геометрии Евклида и геометрии Лобачевского. Геометрию, построенную с помощью этих групп аксиом, называют абсолютной геометрией. Все определения и теоремы абсолютной геометрии имеют место как в геометрии Евклида, так и в геометрии Лобачевского. Отличие составляют те факты, которые являются следствием аксиомы Лобачевского V . В этом и последующих параграфах главы 5 рассмотрим некоторые из этих фактов.

Теорема [1.1]. Через точку, не лежащую на данной прямой, в плоскости, ими определяемой, проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих данную.

Теорема [1.2]. Пусть в плоскости даны прямая и . Тогда в пучке прямых с центром в точке существуют две граничные прямые, которые отделяют множество прямых, пересекающих прямую , от множества прямых, не пересекающих прямую . Эти граничные прямые сами не пересекают прямую .

Замечание. Граничные прямые, о которых говорится в теореме, принято называть параллельными прямой по Лобачевскому. Значит, через точку на плоскости Лобачевского проходят две прямые, параллельные данной прямой . Но если ограничиваться только одной правой или левой полуплоскостью, то получим одну прямую. Тогда говорят о параллельности в данном направлении. В отличие от параллельных прямых, прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек, называются расходящимися прямыми.