Неравенство Чебышева

Теорема. Если СВ X имеет M_X = a, дисперсию D_X, то для любого ε>0 справедливо неравенство Чебышева

(1)

Отметим, что неравенство Чебышева можно записать в другой форме:

(2)

В форме (2) устанавливается нижняя граница вероятности события, в форме (1)–верхняя.

Неравенство Чебышева справедливо для любых СВ.

Пример 1. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что отклонение СВ Х от своего математического ожидания будет меньше 3σ_х.

Пусть ε=3σ_х в формуле (2), тогда получаем

Основное утверждение ЗБЧ содержится в теореме Чебышева. В ней и других теоремах ЗБЧ используется понятие «сходимости случайных величин по вероятности».

Теорема (ЗБЧ в форме П.Л. Чебышева, 1886 г.). Если случайные величины Х_1. Х_2,...Х_п …независимы и существуют такое число С , что Dх_i C, i=1,2,…, то для любого ε справедливо равенство