Т.е. среднее арифметическое этих случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий

Следствие теоремы Чебышева обосновывает принцип среднего арифметического случайных величин, постоянно используемый на практике:

пусть произведено п независимых измерений некоторой величины, истинное значение которой а (оно неизвестно). Результат каждого измерения есть СВ Х_i. Согласно следствию, в качестве прибли­женного значения величины а можно взять среднее арифметическое результатов измерений

Равенство тем точнее, чем больше п.

На теореме Чебышева основан также широко применяемый в ста­тистике выборочный метод, суть которого в том, что о качестве боль­шого количества однородного материала можно судить по небольшой его пробе.

Теорема Чебышева подтверждает связь между случайностью и не­обходимостью: среднее значение случайной величины

практически не отличается от неслучайной величины

Пример 2. Глубина моря измеряется прибором, не имеющим систе­матической ошибки. Среднее квадратическое отклонение измерений не превосходит 15м. Сколько нужно сделать независимых измерений, что­бы с вероятностью, не меньшей 0,9, можно было утверждать, что сред­нее арифметическое этих измерений отличается от а (глубины моря) по модулю меньше, чем на 5 м?

Обозначим через Xi результаты п независимых измерений глубины моря.

Нужно найти число п, которое удовлетворяет неравенству:

где Mх_i = а, что означает отсутствие при измерениях системати­ческой ошибки (т. е. измерения производятся с одинаковой точностью).

По условию: ε= 5, С = 225, так как σ = = 15м. Отсюда

т.е.

Следовательно, измерение нужно проводить не менее 90 раз.