Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема (ЦПТ) представляет собой вто­рую группу предельных теорем, которые устанавливают связь между законом распределения суммы СВ и его предельной формой — нор­мальным законом распределения.

Сформулируем ЦПТ для случая, когда члены суммы имеют одина­ковое распределение (именно эта теорема чаще других используется на практике: в математической статистике выборочные случайные ве­личины имеют одинаковые распределения, так как получены из одной и той же генеральной совокупности).

Теорема. Пусть Х₁, Х₂,...Х_п независимые СВ, одинаково распре­делены, имеют конечные математическое ожидание MX_i = а и диспер­сию DX_i = , . Тогда функция распределения центрированной и нормированной суммы этих случайных величин стремится при п →∞ к функции распределения стандартной нормальной случайной величины:

Это означает, что сумма Х₁ + Х₂ +..+ Х_п приближенно распределена по нормальному закону. Говорят, что при п →∞ СВ асимптотически нормальна.

Напомним, что:

1. СВ X называется центрированной и нормированной (т.е. стан­дартной), если Mх = 0, a Dх = 1.

2. Если СВ X_i,, .независимы, Mх_i =a, Dх_i =σ², то

3. ─ функция Лапласа является функцией распределения нормального закона.

Формула позволяет при больших п вычислять вероятности различных событий, связанных с суммами случайных величин. Так, перейдя от СВ

к стандартной СВ, получим:

формулу для определения вероятности того, что сумма нескольких СВ окажется в заданных пределах. Часто ЦПТ исполь­зуют, если п > 10.

Пример3. Независимые СВ Х_i распределены равномерно на отрез­ке [0,1]. Найти закон распределения СВ

а также вероятность того, что 55 < Y < 70.

( Применив самостоятельно ЦПТ, получите ответ ≈ 0,04.)