2015-06-30
327
Теоретический минимум по ТФКП.
Определение. Комплексным числом называется пара действительных чисел с установленным порядком следования
z=(a,b), a=Re(z), b=Im(z). Действительные числа включаются в множество комплексных чисел.
a=(a,0) - вещественное число, (0,b) - чисто мнимое число. (0,1)=i - мнимая единица.
Еще примеры комплексных чисел: 0=(0,0), -1=(-1,0), -i=(0,-1).
Комплексные числа можно изображать точками на комплексной плоскости.
Действия с комплексными числами.
1) Равенство. Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части: z1=(a1,b1), z2=(a2,b2). Если 1=z2 Û a1=a2, b1=b2. Операция сравнения не определена. Множество комплексных чисел - неупорядоченное множество.
2) Сложение. z1+z2=(a1+a2,b1+b2).
Пример: (0,1)+(1,0)=(1,1).
3) Умножение. z1·z2=(a1 a2 - b1b2, a1b2+a2b1).
Операции сложения и умножения включают действия с действительными числами.
Пример: Умножение чисто вещественного числа на чисто мнимое число. (b,0)·(0,1)=(0,b)= ib - тем самым чисто мнимое число есть произведение соответствующего действительного числа на мнимую единицу.
Þ алгебраическая форма записи комплексного числа z = a + ib = Re(z) + i·Im(z).
|
|
|
Обратные операции.
4) Вычитание. z1 - z2 = (a1 - a2, b1 - b2).
5) Деление. 
. Пример. 1/i = -i.
6) Возведение в целую степень. Действия с многочленами.
Примеры: a) i2 = i i= (0,1)(0,1) = -1. б) 
в) z= (a, b) = a + ib. z2 = (a+ib)2 = a2 + 2iab - b2 = (a2 - b2) + i 2ab Þ; Re(z2)=(a2- b2), Im(z2) = 2ab.
7) Комплексное сопряжение. z=(a, b)=a + ib; Re(z) = a, Im(z) = b;
z* = (a, -b) = a - ib. Re(z*) = a; Im(z*) = -b. Þ; Re(z) = (z + z*) / 2; Im(z) = (z - z*) / 2i.
Некоторые свойства. (z1 ± z2)*= z1* ± z2*; (z1 z2)* = z1* z2*; (z1 / z2)* = z1* / z2*; (z*)* = z.
Примеры. а) z z* = (a + ib)(a - ib) = a2 + b2; б) (z z) * = (z2)* = (a2 - b2) - i 2ab; в) z1 / z2 = z1 z2* / z2 z2*; г) i* = -i; 1*
= 1.
