1. n+1 – местное соответствие называется функциональным по n+1–му аргументу, если из < a 1,…, а n, a >ÎR & < a 1,…, а n, b > ÎR→ а = b, т.е. каждому n кортежу < a 1,…, а n> соответствует не более одного элемента а ÎAn+1. Другими словами, если R функционально, то для каждого кортежа < a 1 ,…, а n > существует единственный элемент а ÎAn+1, т.ч. a = f(< a 1,…, а n>) является функцией. Обратно, каждой функции f(< a 1,…, а n>) единственным образом можно сопоставить отношение Rn = {< a 1,…, а n, f(< a 1,…, а n>)>}.
2. Отношение называется функциональным по второму аргументу, если из
< a, b >ÎR & < a, c > ÎR → b = c.
Говоря попросту, каждый элемент имеет не более одного образа.
Отношение, функциональное по второму аргументу, называют частичной функцией. Если отношение определено на всём множестве А и функционально по второму аргументу, мы будем использовать термин «функция» или «отображение».
3. Отношение называется функциональным по первому аргументу, если из
< a, b >ÎR & < с, b > Î RÞ а = c,
|
|
т.е. каждый элемент из В имеет не более одного прообраза.
Дальнейшее обобщение – отображение или функция, принимающая значение в декартовом произведении k множеств при k<n. В качестве примера можно привести движение материальной точки как функцию от времени: R→ R3: набор <x(t), y(t), z(t)> зависящих от времени координат точки является функцией (локально) со значениями в векторном пространстве или соответствием {< a 1,…, а n, f ( a 1,…, а n)>}.
Отображение R(A,B) называют сюръективным, или отображением на, если область значений совпадает с множеством В.
Отображение R(A,B) называют инъективным, или отображением в, если оно функционально по первому аргументу.
Отношение R(A,B) называют биективным, или взаимнооднозначным, если оно сюръективно и биективно.
Лекция 3
Отношения эквивалентности и порядка