П.1.5. Одно обобщение уравнения Коши

Пусть n — фиксированное натуральное число. Рассмотрим функциональное уравнение

(1.11)

где D (f) = R. При n = 1 оно обращается в уравнение Коши. Как было показано, в классе непрерывных функций единственным решением уравнения Коши является линейная однородная функция. Из результатов Гамеля следует, что и разрывные функции могут удовлетворять уравнению Коши. Покажем, что решение уравнения (1.11) при n > 1 является непрерывной функцией.

Полагая х = у = 0, получим f (0) = 0. Поэтому при х = 0 из (1.11) имеем f(уⁿ) = (f(y))ⁿ для всех у R. Каждое неотрицательное число z может быть записано в виде z = уⁿ. Отсюда

В частности, при х = -z

т. е. f(-z) = - f (z), z R. Если , то

Отсюда следует что f(х + w) = f(х) + f(w) для всех х R, w R, т. е. f(х) — аддитивная функция. Для аддитивной функции при рациональных t имеет место соотношение f(tw) = tf (w). Легко видеть, что

(1.12)

Воспользовавшись формулой Ньютона

,

и аддитивностью f(x), преобразуем отдельно левую и правую части (1.12) при рациональных t:

;

Правые части последних двух равенств представляют собой многочлены от t. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим

, .

В частности, для k = 2 имеем

. (1.13)

Если (f(1))^n-2 > 0, то f(x) — неубывающая функция. Действительно, всякое у > 0 представимо в виде у = х², поэтому из (1.13) имеем f(у) = f(x²) ≥ 0. При х₁ > x₂, х₁ – x₂> 0, f(x₁ – x₂) ≥ 0, или, в силу аддитивности f(х), f (x₁) – f (х₂) ≥ 0. Если же (f(1))^{n -2} < 0, аналогично доказывается, что функция f(х) — невозрастающая.

Ранее было доказано, что если аддитивная функция монотонна, то она имеет вид f(х) = ах.

Полагая в (1.13) х = 1, получим, что f(1) равно 0 или 1 при четном n и f(1) равно 0, 1 или -1 при нечетном n > 1.

Итак, f (х) = х либо f(х) = 0 при четных n; f (x) = х, либо f (х) = -х, либо f(х) = 0 при нечетных n > 1.

Тем самым доказана не только непрерывность решения уравнения (1.11) при n > 1, но и получен его вид.