2015-06-24
451
Заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным. Особенность применяемого метода как раз и состоит в том, что в ряде случаев он позволяет отыскать решения в классе всевозможных функций. Поясним метод на следующих примерах.
Пример 8. Найти все решения функционального уравнения
f(xy) = yk f(x), k 
N.
Решение. Положим в уравнении x = 0: f(0) = yk f(0). Так как y - произвольно, то f(0) = 0.
Пусть теперь x ≠ 0. Подставим в уравнение 
, получим:
или 
(a=f(1))
Функция f(x) = axk является решением исходного уравнения.
Пример 9. Пусть 
- некоторое действительное число. Найти функцию f(x), определённую для всех x ≠ 1 и удовлетворяющую уравнению
,
где g – заданная функция, определённая при x ≠ 1.
Решение. При замене
получаем систему
.
решением которой при a2 ≠ 1 является функция
Пример 10. Найти все функции f(x), заданные на промежутке 
, для которых выполнено равенство
|
|
|
Решение. Выполнив последовательно две замены
приходим к системе функциональных уравнений:
Последнее уравнение есть сумма первых двух, умноженных на -1, т. е. из данной системы функция f(x) однозначно не определяется. Из первых двух уравнений находим
Мы можем определить f(x) произвольным образом на одном из интервалов 
и эти формулы дадут нам расширение f(x) на вcё множество I.
Пример 11. Найти решение системы функциональных уравнений относительно неизвестных функций f(x) и g(x):
Решение. В первом уравнении сделаем подстановку 2x = 1/z.
При этом
и первое уравнение принимает вид:
или
В результате получаем систему уравнений:
решение которой g(x) = 1/x, f(x) = x+1.
