Идею предельного перехода проиллюстрируем на следующих примерах.
Пример 17. Решить в классе непрерывных функций уравнение
(6.1)
где х R.
Решение. Заменив х на , получим
(6.2)
Используя ту же замену, из уравнения (6.2) последовательно получим
,
,
……………………………………..
Методом математической индукции можно доказать, что
(6.3)
Сложив все уравнения, начиная с (6.2), получим
(6.4)
Так как функция f(х) непрерывна, то при любом фиксированном х
Здесь . Из (6.1) . Тогда
Левая часть равенства (6.4) не зависит от n, поэтому существует ее предел при n → ∞. Переходя к пределу в равенстве (6.4), при n → ∞ имеем
(6.5)
Правая часть (6.5) является суммой трех бесконечно убывающих прогрессий
Итак, , что и подтверждается проверкой.
Пример 18. Функция f: R→R непрерывна в точке 0 и для любого x R выполнено равенство
2f(2x) = f(x)+x.
Найти все такие f.
Решение. Пусть функция f удовлетворяет условию. Тогда
Тривиальная проверка показывает, что функция x/3 действительно является искомой.
Пример 19. Доказать, что уравнение
, (6.6)
не имеет непрерывных решений.
Решение. Допустим, что существует непрерывное решение функционального уравнения (6.6). Подставим в исходное уравнения вместо x выражение
ведь если x ≥ 0, то и
получим:
(6.7)
Теперь сделаем такую же замену
в соотношении (6.7):
(6.8)
Описанную операцию проделаем ещё несколько pаз. На n-ом шаге имеем:
Сложим все получившиеся выражения, начиная с (6.6) (всего будет n выражений), и приведем подобные слагаемые:
(6.9)
Равенство (6.9) верно для любого натурального n. Зафиксируем x, а n устремим к ∞. Ввиду непрерывности f(x) в точке x = 0, находим
(6.10)
где
В левой части (6.10) при конкретном (фиксированном) x стоит некоторая константа, т.е. при данном x ряд в правой части (6.10) сходится к этой константе. Мы же покажем, что этот ряд расходится для любого значения x > 0, таким образом, придём к противоречию.
Для любого натурального k и x > 0 верно неравенство
так что
Гармонический ряд
неограниченно возрастает при увеличении n (известный факт), следовательно,
расходится к ∞. Что и требовалось доказать.
Пример 20. Найти f(x), ограниченную на любом конечном интервале, удовлетворяющую функциональному уравнению:
Решение. x = 0 f(0) = 0;
…………………………………………
переходя к lim при x → ∞ используя непрерывность f(x) и f(0) = 0 получаем, что
.
Пример 21. Решить функциональное уравнение
(6.11)
в классе непрерывных функций.
Решение. Выполнив замену , получим
(6.12)
Складывая (6.11) с уравнением (6.12), умноженным на , получим
Это уравнение решается аналогично уравнению (6.1). Найдем подстановку, переводящую в . Для этого положим . Отсюда . Выполнив n раз подстановку , получим систему уравнений, из которой находим
Отсюда при n → ∞
, или ,
что и подтверждается проверкой.
\