2015-06-26
4553
Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Системы счисления
Система счисления – это способ изображения чисел с помощью ограниченного набора чисел, имеющих определенные количественные значения.
Система счисления образует совокупность правил и приемов представления чисел с помощью набора знаков (цифр).
Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.
В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позициив записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.
Например, в числе 881,8 первая восьмерка означает 8 сотен, вторая – 8 десятков, а третья – 8 десятых долей единицы.
Сама же запись числа 881,8 означает сокращенную запись выражения
800 + 80 + 1 + 0,8 = 8 · 102 + 8 · 101 + 1 · 100 + 8 · 10-1 = 881,8.
Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.
За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием p означает сокращенную запись выражения
am-1 pm-1 + am-2 pm-2+... + a1 p1 + a0 p0 + a-1 p-1 +... + a-k p-k,
где ai – цифры системы счисления; m и k – число целых и дробных разрядов, соответственно.
Максимальное целое число, которое может быть представлено в m разрядах:
N max = Pm – 1
Минимальное значащее, не равное 0, число, которое можно записать в k разрядах дробной части:
N min = P-k
Например,
| Разряды | -1 | -2 | -3 | ||||||||
| Число | 1, | 12 | = | 1·25 + 0·24 + 1·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20 + 1·2-1 + 0·2-2 + 1·2-3 |
| Разряды | -1 | -2 | -3 | ||||||||
| Число | 1, | 610 | = | 1·105 + 8·104 + 2·103 + 0·102 + 5·101 + 1·100 + 9·10-1 + 3·10-2 + 6·10-3 |
| Разряды | -1 | -2 | -3 | ||||||||
| Число | 0, | 48 | = | 2·85 + 7·84 + 5·83 + 3·82 + 1·81 + 0·80 + 0·8-1 + 4·8-2 + 4·8-3 |
| Разряды | -1 | -2 | -3 | ||||||||
| Число | B | F | 8, | C | E | 616 | = | 11·165 + 1·164 +9·163 + 0·162 + 8·161 + 15·160 + 12·16-1 + 14·16-2 + 6·16-3 |
Типы систем счисления
Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:
· двоичная (используются цифры 0, 1);
· восьмеричная (используются цифры 0, 1,..., 7);
· шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1,..., 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).
Систему счисления, в которой записано число, обозначают индексом с основанием системы: 1012 (двоичное число), 2548 (восьмеричное число), D5,0C16 (шестнадцатеричное число), 999,910 (десятичное число).
Запись первых двух десятков десятичных целых чисел в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления приводиться в Приложении 1.
Люди используют десятичную систему счисления. Предполагается, что с древних времен люди считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. В Китае, например, люди долгое время пользовались пятеричной системой счисления.
Компьютеры используют двоичную систему счисления, потому что она имеет некоторые преимущества перед другими системами счисления:
- для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;
- представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
- возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
- двоичная арифметика намного проще десятичной.
Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.
Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако чтобы профессионально использовать компьютер, нужно научиться понимать слово машины. С этой целью разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.
Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2).
