Решение задачи для стального симметричного двутавра

Как было сказано выше, разделим рассматриваемый двутавр на 60 слоев по 1см. Пронумеруем слои от 1-го до 60-ти, за первый примем самый верхний слой.

Дальнейшие расчеты будем проводить в табличной форме с использованием табличного процессора MS EXCEL. Выбор данной программы обоснован наличием в ней большого числа внутренних формул которые в значительной мере позволяют упростить выполнение расчетов.

Входными параметрами для решения нашей задачи будут относительные деформации на уровне верхней и нижней граней сечения, т.е. и . Выходными параметрами будем считать продольную силу и изгибающий момент. Т.е. варьируя два входных параметра мы будем получать два выходных параметра и сравнивать их с заданными внешними усилиями.

В первый столбец будем заносить номер слоя. Назначение номера слоя не обязательно, но позволяет при упоминании удобно ссылаться на слой по его номеру, т.е. когда мы будем говорить о каком-либо слое, мы будем говорить "слой номер …".

Во второй столбец будем заносить ширину слоя, т.е. 30 см для слоев полки двутавра и 1 см для слоев стенки двутавра.

В третий столбец будем заносить толщину (высоту) слоя, т.е. 1см. Т.к. все слои в нашем случае одинаковой высоты, то данный столбец можно и не создавать, но наличие данного столбца удобно для дальнейших вычислений.

В четвертом столбце будем получать площадь каждого слоя – произведение ширины слоя на его высоту, т.е. произведение столбцов 2 и 3: .

В пятом столбце будем получать расстояние от верхней грани сечения до центра тяжести каждого слоя.

В шестом столбце будем получать относительные деформации на уровне центра тяжести каждого слоя, т.е. .

В седьмой столбец будем заносить модуль упругости данного слоя. Т.к. все слои в нашем случае имеют одинаковый модель упругости (пока), то данный столбец можно и не создавать, но наличие данного столбца удобно для дальнейших вычислений

В восьмом столбце будем получать напряжения в каждом слое, т.е. .

В девятом столбце будем получать усилие в каждом слое, т.е. .

В десятом столбце будем получать плечо для усилия в каждом слое, т.е. .

В одиннадцатом столбце будем получать момент усилия каждого слоя относительно центра тяжести, т.е. .

В целом, задача сводится к получению таких значений относительных деформаций на верхней и нижней грани сечения и , при которых внутренние усилия (т.е. суммы по столбцам 8 и 10) станут равны внешним усилиям, заданным в задаче.

Получаем таблицу следующего вида (на рисунке приведена только часть ячеек таблицы).

Рисунок 1‑1. Схематический вид таблицы для расчета нормальных сечений

Пример, найдем напряжения в рассматриваемом сечении, при которых момент воспринимаемый сечением будет равен 1600кН*м.

Найдем момент инерции рассматриваемого сечения

Найдем момент сопротивления рассматриваемого сечения

В соответствии с положения теории о сопротивлении материалов аналитическое значении максимальных напряжений, при которых воспринимаемый момент равен 1600кН*м составляет:

В соответствии с разработанной нами моделью напряжения в верхнем слое составили .

Эпюра распределения напряжений по высоте сечения приведена на рисунке

Рисунок 1‑2. Эпюра напряжений в нормальном сечении элемента

Как видим, вид данной эпюры вполне согласуется с теоретическим, что говорит о достаточной достоверности предлагаемой модели.

Погрешность вычисления напряжений составляет:

, что вполне достаточно для инженерных расчетов.

Для оценки погрешности вычисления относительных деформаций получим относительные деформации в соответствии с теорией сопротивления материалов:

В соответствии с нашей моделью относительные напряжения на верхней и нижней грани сечения при решении задачи составили , т.е. погрешность вычисления относительных деформаций на верхней и нижней грани не превышает .

Покажем, что погрешность вычисления напряжений в нашей модели вызвана дискретностью модели, т.е. разбивкой сечения на слои, а не неточностью введенных в модели зависимостей. Для этого увеличим количество слоев в два раза, т.е. установим разбивку сечения по 0,5см по высоте. В этом случае общее количество слоев составило 120. Напряжения в верхнем слое составили . Погрешность вычисления напряжений составляет:

Таким образом, увеличение количества слоев в два раза уменьшило погрешность вычисления напряжений также в два раза. Очевидно, что при необходимости мы можем получить результат с любой интересующей нас точностью, увеличивая соответствующим образом количество слоев. Для практических инженерных расчетов, как правило достаточно, чтобы погрешность вычисления составляла не более 3-4%. В этом случае, в соответствии с приведенными выше выводами достаточно разбивки сечения двутавра на 30 слоев по высоте – ожидаемая погрешность составит 3,5%, однако даже при разбивке сечения на 100-200 слоев по высоте современные вычислительные машины позволяют получать результат вычислений не более чем за несколько секунд, что делает данный вид расчетов доступным практически любому инженеру.

Разработанная нами модель, как показано выше, позволяет определять нормальные напряжения в сечении, причем как максимальные по сечению, так и в любой точке сечения по его высоте. Однако это не все на что способна наша модель. В нашей модели мы можем получить также следующее:

- учесть пластические деформации материала и проследить вызванное этим образование пластического шарнира или разрушение материала.

- получить эпюру распределения относительных деформаций и напряжений по высоте сечения;

- получить кривизну элемента в рассматриваемом сечении, что позволит вычислить прогиб изгибаемого элемента;

- получить значения касательных напряжений в сечении.

Т.е. на основании разработанной нами модели возможно произвести практически любые расчеты изгибаемых элементов, а при некоторой модификации также и внецентренно сжатых элементов.