2015-07-04
3372
Прогиб упругой линейно деформируемой шарнирно опертой балки, как известно, определяется по формуле:
(1.6)
Выразим данное значение прогиба через максимальный изгибающий момент:
(1.7)
Учтем, что кривизна изгибаемого элемента в упругой стадии может быть определена по формуле:
(1.8)
тогда можно получить формулу для определения прогиба через кривизну элемента:
(1.9)
Данная формула позволяет определять прогиб изгибаемого элемента по кривизне в сечении с максимальным изгибающим моментом полагая, что значение кривизны пропорционально изгибающему моменту. Аналогичная формула применяется при определении прогиба железобетонных элементов, кроме того, подобная формула может быть выведена для изгибаемых элементов с любыми условиями закрепления (отличие будет только в первом множителе).
В разработанной нами модели кривизна может быть определена по формуле:
(1.10)
Проверим разработанную нами модель на примере:
Пролет элемента 
, Нагрузка 
, сечение элемента ранее принятое: 
, 
.
|
|
|
Определяем прогиб элемента в соответствии с теорией сопротивления материалов:
Дополним нашу таблицу ячейками для определения кривизны, а также определим изгибающий момент:
При данном изгибающем моменте 
, кривизна 
, прогиб 
.
Как видим, разработанная нами модель вполне пригодна для определения прогиба, причем для этого нам не понадобилось значительно усложнять модель.
Проследим, как будет изменяться значение прогиба элемента при постепенном увеличении нагрузки (точнее изгибающего момента, однако по значению изгибающего момента может быть найдено и значение нагрузки).
При 
, кривизна 
, изгибающий момент 
, прогиб 
.
При 
, кривизна 
, изгибающий момент 
, прогиб 
.
При 
, кривизна 
, изгибающий момент 
, прогиб 
.
При 
, кривизна 
, изгибающий момент 
, прогиб 
.
При 
, кривизна 
, изгибающий момент 
, прогиб 
.
При 
, кривизна 
, изгибающий момент 
, прогиб 
.
При 
, кривизна 
, изгибающий момент 
, прогиб 
.
При 
, кривизна 
, изгибающий момент 
, прогиб 
.
Построим график зависимости прогиба элемента от действующего изгибающего момента (как мы уже отметили выше, от изгибающего момента может быть определена действующая нагрузка, т.е. данный график может быть построен и в осях нагрузка-прогиб).
Рисунок 1‑6. Диаграмма зависимости прогиба элемента от изгибающего момента
Как видно из графика, при некотором значении изгибающего момента происходит резкое непрерывное нарастание прогиба. По сути, данное нарастание прогиба и считают обрушением элемента.
Также необходимо отметить, что образование пластического шарнира произошло в балке не резко, а на некотором участке. На данном участке прослеживается текучесть сначала полок элемента, а затем и стенки.
|
|
|
Строго говоря, полученное нами значение прогиба элемента после наступления текучести не является верным, так как выведенная нами формула для определения прогиба элемента в зависимости от кривизны в сечении с наибольшим изгибающим моментом получена в предположении, что кривизна элемента пропорциональна изгибающему моменту, поэтому полученное нами значение прогиба является завышенным, т.к. на участках элемента вне зоны пластического шарнира зависимость между изгибающим моментом и кривизной будет линейной.
Покажем, однако, что наша модель позволяет обойти и эту проблему, т.е. позволяет корректно определять прогиб элемента и в стадии пластического шарнира.
Разобьем элемент на несколько участков. В пределах каждого участка будем полагать, что изгибная жесткость является величиной постоянной, т.е. 
. Для сечении в которых текучесть материала не достигнута, под модулем упругости следует понимать начальный модуль упругости, для сечений с текучестью материала необходимо определить секущий модуль упругости.
Для определения секущего модуля упругости воспользуемся выражением:
(1.11)
Откуда
(1.12)
Данный модуль упругости следует назначать для участка, в котором материал достиг предела текучести.
Для примера определим прогиб нашей балки с использованием программы Лира. Разобьем балку на 11 элементов, среднему элементу зададим модуль упругости:
Как видим, секущий модуль упругости значительно (почти в 7 раз) меньше "обычного" модуля упругости.
Нагрузка при изгибающем моменте составляет 
Рисунок 1‑7. Деформированная схема балки с учетом образования пластического шарнира
Как видим, максимальное значение прогиба по уточненной схеме составило 105мм, т.е. значительно меньше полученного нами прогиба 347мм, что свидетельствует о том, что даже в неупругой стадии прогиб изгибаемых элементов не возрастает мгновенно, т.е. изгибаемые элементы могут еще в значительной мере сопротивляться возрастающей нагрузке.
Также отметим, что основной прогиб элемента образовался именно из-за кривизны в средней зоне элемента, т.е. в зоне образования пластического шарнира.
Покажем, что вычисленное нами в программе Лира значение прогиба с использованием секущего модуля упругости корректно отражает работу балки, для чего присвоим всем элементам значение модуля упругости равное секущему.
Рисунок 1‑8. Деформированная схема балки с назначением модуля упругости, равного секщему
Как видим полученное по данной схеме значение прогиба составляет 346мм, т.е. достаточно близко к полученному нами ранее значению равному 347мм, что свидетельствует о корректности выполненных нами вычислений.
В данном случае нам пришлось обратиться к дополнительной программе, поскольку наша таблица не отражает распределение кривизны по длине элемента, также отметим что программа Лира позволяет выполнять физически нелинейный расчет с использованием внутренних алгоритмов, однако мы смогли выполнить расчет на основе собственных алгоритмов, кроме того не все конечноэлементные программы обладают инструментарием для физически нелинейных расчетов (например, программа SCAD). Также отметим, что задача была решена нами в перемещениях (деформациях), что позволяет выполнять расчеты с учетом идеально горизонтальной площадки текучести, в то время как большинство конечноэлементных программных комплексов решают задачи в напряжениях, что приводит к значительным проблемам сходимости решения при идеально горизонтальной площадке текучести, что заставляет зачастую придавать площадке текучести некоторый наклон.
