Преобразование Фурье

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ
НА ОСНОВЕ МЕТОДА ПЕРИОДОГРАММ

Минск 2006

1. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ
НА ОСНОВЕ МЕТОДА ПЕРИОДОГРАММ

Цель работы: Изучить периодограммный метод спектрального анализа с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ) на основе алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Преобразование Фурье

Как известно, прямое и обратное преобразования Фурье для непрерывных сигналов определяются следующим образом:

		(1)
		(2)

Для дискретных сигналов выражения (1) и (2) представляются в виде:

		(3)
		(4)

где

;

x (n) ¾ выборочное значение входного сигнала;

X (k) ¾ коэффициент Фурье;

N ¾ объем выборки.

Выражения (3) и (4) похожи друг на друга, откуда следует, что эта пара преобразований может быть реализована с помощью одной и той же вычислительной процедуры. Однако прямое вычисление N -точечного ДПФ требует выполнения числа операций порядка N ², быстро растущего с увеличением N и ведущего к огромной затрате вычислительных ресурсов при такой реализации вычислений. Поэтому настоятельной потребностью является разработка эффективных алгоритмов вычисления ДПФ, позволяющих значительно сократить число необходимых для этой цели арифметических операций и объем памяти. Появление таких алгоритмов, известных в настоящее время под общим названием алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ), обеспечило увеличение быстродействия при использовании метода Фурье в цифровой обработке сигналов, что заметно расширило сферу практического использования частотных представлений. БПФ позволяет вычислять ДПФ с числом операций, пропорциональным NlogN. При этом значительно уменьшилась вычислительная сложность и погрешности вычислений.