В теореме Бернулли устанавливается связь между относительной частотой появления события и его вероятностью p при условии, что последняя от опыта к опыту не изменяется. Теорема Пуассона[7] устанавливает связь между относительной частотой появления события и некоторой постоянной величиной при переменных условиях опыта.
Теорема Пуассона. Если производится n независимых опытов и вероятность появления события А в i- м опыте равна pi, то при увеличении n относительная частота появления события сходится по вероятности к среднему арифметическому значению вероятностей pi, т. е.
= 1, (4.3.1)
где ε – сколь угодно малое положительное число.
Для конечного числа испытаний n будем иметь:
(4.3.2)
Каким бы ни было ε, при n → ∞ величина дроби , а вероятность
Пример 4.3.1. Одинаковые партии изделий размещены в 11 ящиках, причем доли первосортных изделий в них составляют 0,0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0.8; 0,9; 1,0. Из каждого ящика наудачу извлечено по одному изделию. Определить вероятность того, что доля первосортных изделий в выборке будет отличаться от средней арифметической доли менее чем на 0,2.
|
|
Решение. По условию задачи:
n = 11; ε = 0,2;
p 1 = 0,0 (q 1 = 1,0); p 2 = 0,1 (q 2 = 0,9); p 3 = 0,2 (q 3 = 0,8);
p 4 = 0,3 (q 4 = 0,7); p 5 = 0,4 (q 5 = 0,6); р 6 = 0,5 (q 6 = 0,5);
p 7 = 0,6 (q 7 = 0,4); p 8 = 0,7 (q 8 =0,3); p 9 = 0,8 (q 9 = 0,2);
p 10 = 0,9 (q 10 = 0,1); p 11 = 1,0 (q 11 = 0,0).
Применяя формулу (4.3.2), получим
=
= 1 – =
= 1 – = 0,64.
Ответ: ≥ 0,64.