Математическая модель ЧМ-сигнала имеет вид

a(t) = А₀cos( w ₀t + b cos W tdt) = А₀cos( w ₀t + sin W t),

где bX/ W=Dw / W = b- индекс частотной модуляции.

Период изменения w (t) задается частотой Wмодулирующего сигнала: Т = 2 p / W

· Для нахождения спектра определим частотные составляющие, входящие в матмодель ЧМ-сигнала:

a(t) = А₀ cos( w ₀t + b sin W t) =

= А₀ cos w ₀t cos( b sin W t) - А₀ sin w ₀t sin( b sin W t).

Функции cos (b sin W t) и sin (b sin W t) раскладываются в бесконечные ряды с бесселевыми функциями первого рода J_n( b ):

cos (b sin W t) = J₀( b ) + 2 cos 2k W t;

sin (b sin W t) = 2 sin(2k+1) W t.

Подставим их и преобразуем модель:

a(t) = A₀[J₀( b )cos w ₀t + 2 J₂( b )cos w ₀t cos2 W t + 2 J₄( b )cos w ₀t cos4 W t +...-

- 2J₁( b )sinw₀t sin W t - 2J₃( b )sin w ₀t sin3 W t -... ]=

= =

=A₀ [ J₀( b ) cos w ₀t) - J₁( b ) cos( w-W )t + J₁( b ) cos( w+W )t +

+ J₂( b ) cos( w -2 W )t + J₂( b ) cos( w +2 W )t -

- J₃( b ) cos( w -3 W )t + J₃( b ) cos( w +3 W )t +

+ J₄( b ) cos( w -4 W )t + J₄( b ) cos( w +4 W )t -… ].

Из этого следует, что спектр ЧМ-сигнала состоит из несущей w ₀ и бесконечных верхней и нижней боковых полос частотw ₀ ± k W, т.е. уже в простейшем случае имеет бесконечно большую ширину с амплитудами, пропорциональными бесселевым функциям, которые, в свою очередь, зависят от индекса модуляции b = Dw / W.

В отличие от АМ, процессы угловой модуляции – ЧМ и ФМ – нелинейные. Так, при x(t) = Х₁ cos W ₁t + Х₂ cos W ₂t спектр ЧМ-сигнала содержит не только боковые частоты w ₀ ± k W ₁ и w ₀ ± l W ₂ ( где k и l – целые числа), но и боковые частоты вида w ₀ ± (k W ₁ ± l W ₂).

При модуляции сигналом с полосой частот от W_миндо W_максполучим значительно более сложный спектр модулированного сигнала.