На практике случайные события обычно взаимосвязаны. Информация о наступлении одного из событий может влиять на шансы наступления другого. Пусть - конечное пространство равновозможных исходов, А и В – некоторые события. Если о событии В ничего неизвестно, то согласно классическому определению вероятности:
.
Если же известно, что событие В уже произошло (т. е. наступил исход , но какой именно – неизвестно), то для определения вероятности события А следует выбрать новое пространство элементарных событий .
В этом случае событию А благоприятствуют исходы и новая вероятность, которую обозначим , равна:
.
Полученная вероятность называется условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло и полученное для нее выражение в рамках классической схемы принимается за определение условной вероятности и в общем случае.
Определение. Пусть - произвольное вероятностное пространство, - некоторые случайные события, . Условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло, называется величина
|
|
.
Для условной вероятности применяется также обозначение .
Условная вероятность , как функция события А при фиксированном событии В (условии), удовлетворяет аксиомам Р1) – Р3) и, следовательно, всем свойствам вероятности, вытекающим из аксиом:
(Действительно, ).
(Действительно, ,
поскольку события являются несовместными).
Аналогично вводится понятие условной вероятности события В при условии, что событие А произошло:
в предположении, что .
Если и , то из определения условных вероятностей и получаем следующее правило умножения вероятностей:
.
На случай любого конечного числа событий правило умножения вероятностей обобщается следующим образом.
Теорема (умножения вероятностей).
Пусть - некоторые события, определенные на одном и том же вероятностном пространстве , для которых . Тогда
.
▲ В соответствии с правилом умножения вероятностей
. ■
Пример.
Партия из 100 деталей содержит 5 бракованных. Найти вероятность того, что среди отобранных 10 деталей не будет бракованных.
Решение. Рассмотрим события
;
.
Тогда и в соответствии с теоремой умножения вероятностей получаем:
.
Заметим, что тот же ответ получается и при использовании классического определения вероятности:
, и = 0,584 (см. пример Урновая схема).