Энергетический спектр случайного процесса на выходе линейной цепи

Спектр на выходе линейной цепи

Энергетический спектр случайного процесса на выходе линейной цепи

20) Основы статистической обработки и фильтрации сигналов. Согласованная фильтрация детерминированного сигнала. Неравество Коши-Буняковского

Выделение сигнала из помех является одной из важнейших задач, которые необходимо решить при разработке практически любой системы передачи информации. Критерий качества такого выделения сильно варьируется в зависимости от назначения системы. Так, при передаче аудио- или видеосигнала важно обеспечить минимально возможное искажение его формы, а в радиолокационной аппаратуре – установить факт наличия отраженного сигнала и определить момент его прихода.

Помимо критериев качества, различными являются также наши знания о структуре полезных сигналов и шумов и, соответственно, используемые для их представления математические модели. Поэтому не существует единственно «оптимального» устройства, во всех случаях обрабатывающего сигнал наилучшим образом.

Понятие оптимальности имеет смысл только в связи с конкретной постановкой задачи, т. е. для конкретной комбинации критерия качества, моделей сигналов и шумов.

классические задачи обработки сигналов:

I. Критерий качества

II. Модели сигналов

III. Модели шумов

Пусть форма обрабатываемого сигнала заранее известна, и нам нужно определить лишь факт присутствия сигнала на фоне шумов (задача обнаружения сигнала).

В этом случае фильтр должен вместо сохранения формы сигнала обеспечить его максимальный (по сравнению с шумом) уровень на выходе.

Критерием качества обработки в данном случае может служить отношение сигнал/шум, определяемое как

, (1)

где – максимальное абсолютное значение сигнала,

– среднеквадратичное значение шума.

Детерминированная составляющая выходного сигнала фильтра в момент может быть рассчитана последующей формуле:

, (3)

где – импульсная характеристика фильтра.

В курсе математики доказывается неравенство Коши- Буняковского, согласно которому

, (4)

причем максимум левой части (равенство) достигается только в том случае, если функции и пропорциональны друг другу:

. (5)

Применив неравенство (4) к правой части формулы (3), имеем

.

Равенство, согласно выражению , будет достигаться, если

, (6)

где – постоянный коэффициент, имеющий размерность (ведь импульсная характеристика имеет размерность частоты, т. е. 1/с). Выполнив замену переменной , формулу (6) можно переписать в виде

21) Комплексный коэффициента передачи согласованного фильтра.

Выражение для комплексного коэффициента передачи согласованного фильтра. Преобразование Фурье импульсной характеристики (7) дает

.

Используем замену переменной . С учетом этого

.

Получившийся интеграл представляет собой спектральную функцию сигнала на частоте . Но согласно свойствам спектра вещественного сигнала , поэтому окончательно для коэффициента передачи согласованного фильтра имеем

. (8)

Полученной формуле можно дать наглядную физическую трактовку. Рассмотрим, какие преобразования производит согласованный фильтр с фазовым спектром сигнала.

Пусть фазовый спектр входного сигнала равен :

.

Согласно (8) фаза коэффициента передачи согласованного фильтра может быть представлена как

.

Таким образом, фазовый спектр выходного сигнала будет иметь вид

,

а это означает, что в момент все спектральные составляющие сигнала складываются на выходе синфазно, образуя пик выходного отклика.

Это называется компенсацией начальных фаз.

Механизм компенсации начальных фаз иллюстрируется на рис. 2.

Рис. 2. Механизм компенсации начальных фаз

при согласованной фильтрации

Модуль коэффициента передачи, как следует из (8), повторяет форму модуля спектральной плотности сигнала :

.

Таким образом, коэффициент передачи велик на тех частотах, где сосредоточена основная часть энергии полезного сигнала, и мал там, где мала спектральная плотность.

Сочетание компенсации начальных фаз с увеличением амплитуды сильных спектральных составляющих сигнала и обеспечивает оптимальность согласованного фильтра для регистрации сигнала на фоне белого шума.