Ного (максимального чи мінімального значення)

Отже, потрібно відшукати значення

max (min) (1, 2,,; 1, 2,,; 1, 2,,)

*

n m l

x

F f x x x y y y c c c

j

= ¼ ¼ ¼. (2.2)

Можливості вибору xj завжди обмежені зовнішніми щодо системи умовами, параметрами

виробничо-економічної системи тощо.

Наприклад, площа посіву озимої пшениці обмежена наявністю ріллі та інших ресурсів, сіво-

змінами, можливістю реалізації зерна, необхідністю виконання договірних зобов’язань тощо. Ці про-

цеси можна описати системою математичних рівностей та нерівностей виду:

{ }

(1, 2,,).

(1, 2,,; 1, 2,,; 1, 2,,),, 0;

i S

qi x x xn y y ym c c cl

= ¼

¼ ¼ ¼ £ = ³

(2.3)

Тут набір символів (£, =, ³) означає, що для деяких значень поточного індексу і виконуються

нерівності типу £, для інших – рівності (=), а для решти – нерівності типу ³.

Система (2.3) називається системою обмежень, або системою умов задачі. Вона описує вну-

трішні технологічні та економічні процеси функціонування й розвитку виробничо-економічної сис-

теми, а також процеси зовнішнього середовища, які впливають на результат діяльності системи. Для

економічних систем змінні xj мають бути невід’ємними:

x j ³ 0 (j =1, 2,..., n). (2.4)

Залежності (2.2)—(2.4) утворюють економіко-математичну модель економічної системи.

Розробляючи таку модель, слід дотримуватись певних правил:

1. Модель має адекватно описувати реальні технологічні та економічні процеси.

2. У моделі потрібно враховувати все істотне, суттєве в досліджуваному явищі чи процесі, не-

хтуючи всім другорядним, неістотним у ньому. Математичне моделювання — це мистецтво, вузька

стежка між переспрощенням та переускладненням. Справді, прості моделі не забезпечують відповід-

ної точності, і «оптимальні» розв’язки за такими моделями, як правило, не відповідають реальним

ситуаціям, дезорієнтують користувача, а переускладнені моделі важко реалізувати на ЕОМ як з огля-

ду на неможливість їх інформаційного забезпечення, так і через відсутність відповідних методів оп-

тимізації.

3. Модель має бути зрозумілою для користувача, зручною для реалізації на ЕОМ.

4. Необхідно, щоб множина змінних xj була не порожньою. З цією метою в економіко-

математичних моделях за змоги слід уникати обмежень типу «=», а також суперечливих обмежень.

Наприклад, ставиться обмеження щодо виконання контрактів, але ресурсів недостатньо, аби їх вико-

нати. Якщо система (2.3), (2.4) має єдиний розв’язок, то не існує набору різних планів, а отже, й зада-

чі вибору оптимального з них.

Будь-який набір змінних x 1, x 2,..., xn, що задовольняє умови (2.3) і (2.4), називають допусти-

мим планом, або планом. Очевидно, що кожний допустимий план є відповідною стратегією еко-

номічної системи, програмою дій. Кожному допустимому плану відповідає певне значення цільової

функції, яке обчислюється за формулою (2.2).

Сукупність усіх розв’язків системи обмежень (2.3) і (2.4), тобто множина всіх допустимих

планів утворює область існування планів.

План, за якого цільова функція набуває екстремального значення, називається оптимальним.

Оптимальний план є розв’язком задачі економіко-математичного моделювання (2.2)—(2.4).

Приклад 2.1. Фірма спеціалізується на виготовленні та реалізації електроплит і морозильних

камер. Припустимо, що збут продукції необмежений, проте обсяги ресурсів (праці та основних мате-

ріалів) обмежені. Завдання полягає у визначенні такого плану виробництва продукції на місяць, за

якого виручка була б найбільшою.

Норми використання ресурсів та їх загальний запас, а також ціни одиниці кожного виду про-

дукції наведені в табл.2.1.

Таблиця 2.1 – Інформація, необхідна для складання виробничої програми

Вид

продукції

Норми витрат на одиницю

продукції

Ціна одиниці

робочого продукції, ум. од.

часу,

люд.-год.

листо-

вого

заліза,

м2

скла,

м2

Морозильна

камера 9,2 3 — 300

Електрична

плита 4 6 2 200

Загальний запас ресу-

рсу на місяць 520 240 40 —

Побудуємо економіко-математичну модель даної задачі. Позначимо через х1 кількість вироб-

лених морозильних камер, а через х2 — електроплит. Виразимо математично умови, що обмежують

використання ресурсів.

Виходячи з нормативів використання кожного з ресурсів на одиницю продукції, що наведені в

табл.2.1, запишемо сумарні витрати робочого часу: 9,2 х1 + 4 х2. За умовою задачі ця величина не може

перевищувати загальний запас даного ресурсу, тобто 520 люд.-год. Ця вимога описується такою не-

рівністю:

9,2 x 1 + 4 x 2 £ 520.

Аналогічно запишемо умови щодо використання листового заліза та скла:

3 x 1 + 6 x 2 £ 240;

2 x 2 £ 40.

Необхідно серед множини всіх можливих значень х1 та х2 знайти такі, за яких сума вируч-

ки максимальна, тобто: max F = 300 x 1 + 200 x 2.

Отже, умови задачі, описані в прикладі 2.1, можна подати такою економіко-математичною

моделлю:

max F = 300 x 1 + 200 x 2,

за умов: 9,2 x 1 + 4 x 2 £ 520;

3 x 1 + 6 x 2 £ 240;

2 x 2 £ 40;

x 1 ³ 0, x 2 ³ 0.

Остання умова фіксує неможливість набуття змінними від’ємних значень, тому що кількість ви-

робленої продукції не може бути від’ємною. Розв’язавши задачу відповідним методом математичного

програмування, дістаємо такий розв’язок: для максимальної виручки від реалізації продукції необхідно

виготовляти морозильних камер—50 штук, електроплит—15 (х 1 = 50, х 2 = 15).

Перевіримо виконання умов задачі:

9,2 × 50 + 4 ×15 = 520;

3 × 50 + 6 ×15 = 240;

2 ×15 = 30 < 40.

Всі умови задачі виконуються, до того ж оптимальний план дає змогу повністю використати

два види ресурсів з мінімальним надлишком третього.

Виручка становитиме: F = 300 × 50 + 200 ×15 =18 000 ум. од.

Отриманий оптимальний план у порівнянні з першим варіантом виробничої програми умож-

ливлює збільшення виручки на 18 000 -16 800 =1200ум.од., тобто на 100% 7,1%

16 800

1200 =.

Зауважимо, що в класичній постановці задачі економыко-математичного моделювання перед-

бачається одна цільова функція, яка кількісно визначена. У реальних економічних системах на роль

критерію оптимальності (ефективності) претендують кілька десятків показників. Наприклад, макси-

мум чистого доходу від реалізації виробленої продукції чи максимум рівня рентабельності, мінімум

собівартості виробленої продукції або мінімум витрат дефіцитних ресурсів. Крім того, бажаним є за-

стосування кількох критеріїв одночасно, причому вони можуть бути взагалі несумісними. Наприклад,

вимога досягти максимальної ефективності виробництва за мінімальних витрат ресурсів з погляду

постановки математичної задачі є некоректною. Мінімальні витрати ресурсів – це нульові витрати,

що мають місце за повної відсутності будь-якого процесу виробництва. Аналогічно максимальна

ефективність може бути досягнута лише у разі використання певних обсягів (звичайно не нульових)

ресурсів. Тому коректними є постановки задач такого типу: досягти максимальної ефективності при

заданих витратах чи досягти заданого ефекту за мінімальних витрат.

Оскільки не існує єдиного універсального критерію економічної ефективності, то досить часто

вдаються до розгляду багатокритеріальної оптимізації. Хоча задача економіко-математичного моде-

лювання передбачає одну цільову функцію, розроблено математичні методи, що дають змогу будува-

ти компромісні плани, тобто здійснювати багатокритеріальну оптимізацію.

Найчастіше способи використання багатьох критеріїв у задачах економіко-математичного мо-

делювання зводяться до штучного об’єднання кількох вибраних показників в один. Наведемо кілька

таких способів.

Нехай у задачі обрано m критеріїв оптимальності Fi (i =1, m). Загальний критерій може мати

вигляд суми окремих показників ефективності з відповідними коефіцієнтами:

F = k F + k F + + kmFm *... 1 1 2 2, (2.5)

де k 1,..., km – додатні чи від’ємні коефіцієнти. Додатні коефіцієнти відповідають тим критеріям, які по-

трібно максимізувати, а від’ємні – тим, які мінімізуються. Абсолютні значення коефіцієнтів k 1,..., km ві-

дповідають пріоритету (важливості) того чи іншого показника.

Наприклад, якщо розв’язується виробнича задача, то з додатними коефіцієнтами ввійдуть такі

величини, як обсяг прибутку, отриманого від реалізації товарів та послуг, з від’ємними – витрати ре-

сурсів (часу, праці), собівартість одиниці продукції.

Узагальнений критерій може подаватись у вигляді дробу, де в чисельнику знаходиться добу-

ток показників, які необхідно максимізувати, припустимо F 1,..., Fn, а в знаменнику – добуток тих,

які потрібно мінімізувати Fn +1,..., Fm:

.

* 1

Õ

Õ

= +

= = m

i n

i

n

i

i

F

F

F (2.6)

Загальним недоліком критеріїв (2.5), (2.6) є те, що існує можливість недостатню ефективність

одного критерію компенсувати іншим. Наприклад, зниження значення виконання попередніх замов-

лень (в (2.6) буде в чисельнику) може компенсуватися зменшенням використання ресурсів (знамен-

ник дробу (2.6)). Оскільки окремі величини в чисельнику та знаменнику пропорційно зменшилися, то

значення дробу не змінюється, проте складені на основі таких розрахунків плани можуть призвести

до негативних наслідків.

Такі критерії порівнюють із запропонованим Львом Толстим жартома «критерієм оцінки

людини» у вигляді дробу, де в чисельнику зазначають справжні достоїнства людини, а у знаменни-

ку – її думку про себе. Отже, якщо людина майже немає достоїнств (чисельник дробу буде малим

числом) і водночас у неї зовсім відсутня зарозумілість (в знаменнику — майже нуль), то вона буде

мати нескінченно велику цінність (оскільки будь-яке число, поділене на нескінченно малу величи-

ну, дає нескінченність).

Отже, до використання зазначених способів формування цільових функцій необхідно підхо-

дити зважено та продумано.

Ще один метод запропонував І.Никовський. Оптимальний план знаходять окремо за кожним з

вибраних критеріїв, після чого отримують множину значень цільової функції *

Fi (i =1, m). На

останньому етапі розв’язується початкова задача з одним критерієм виду:

*

*

*

*

*

* -

= =

-

=

-

=

m

m m

F

F F

F

F F

F

F F

min F...

2 2

1 1, (2.7)

де Fi (i =1, m) – значення i- го критерію оптимальності в оптимальному компромісному плані. За

такого підходу розв’язок задачі визначається за критерієм, що дорівнює мінімальному значенню мо-

дулів часток відхилень значень кожної цільової функції у компромісному плані від їх оптимальних

значень у їх же оптимальних значеннях, що робить всі критерії однаково важливими. Для врахування

переваг одних критеріїв над іншими доцільно застосовувати узагальнений критерій такого виду:

*

*

*

*

*

* -

= =

-

=

-

=

m

m m

m F

F F

k

F

F F

k

F

F F

min F k...

2 2

1 1

. (2.8)

Недоліками цих двох способів є, по-перше, жорстке співвідношення між значеннями відхи-

лень критеріїв оптимальності, що значно звужує множину допустимих планів; по-друге, одному зна-

ченню деякого критерію може відповідати множина інших, причому таких, за яких оптимальний

план з економічного погляду ефективніший; по-третє, відсутня методика об’єктивного визначення

коефіцієнтів k 1,... km.

Зведення багатокритеріальної задачі до задачі з одним критерієм може також здійснюватися

через виділення з вибраного набору показників одного, який вважають найважливішим — Fk і нама-

гаються досягти його максимального значення (якщо необхідно знайти мінімум, то досить змінити

знак показника). Всі інші показники (критерії) є другорядними, і на них накладаються обмеження ви-

ду: Fi ³ zi, де zi є нижньою межею значення відповідного показника, або Fi £ zi, якщо необхідно,

щоб значення показника не перевищувало zi. Для виробничих задач можна виділити як найважливі-

ший показник ефективності прибуток і, максимізуючи його величину, додатково вводити обмеження

щодо рентабельності виробництва не нижче або собівартості не вище певного рівня. Такі обмеження

входять до системи початкових умов задачі.

Останнім розглянемо так званий «метод послідовних поступок». Всі обрані критерії необхідно

ранжирувати за спаданням їх важливості: спочатку головний, скажімо F1, потім менш важливий F2 і

т. д. Вважатимемо, що необхідно досягти максимального значення за всіма критеріями (якщо необ-

хідно знайти мінімум, то змінюють знак показника). Спочатку розв’язується задача з одним головним

критерієм (знаходиться значення max F 1), потім призначають деяку невелику за абсолютним зна-

ченням «поступку» D F 1, на яку можна змінити (зменшити) значення критерію max F 1 задля того,

щоб досягти максимального (більшого) значення за наступним критерієм F2. Величина «поступки»

залежить від потрібної точності розрахунків та достовірності початкових даних. Потім до системи

початкових обмежень задачі приєднують обмеження, що встановлює рівень можливого відхилення

показника: () F 1 £ max F 1 - D F 1, і розв’язують нову задачу з критерієм оптимальності F2 і т.д.

Процес розв’язання задачі у такий спосіб показує, ціною яких «поступок» досягається бажаний ре-

зультат. Очевидно, що багатокритеріальні задачі економіко-математичного моделювання не мають

універсального способу розв’язування. Отже, вибір та коректне застосування будь-якого з наведених

способів залишається за суб’єктом прийняття рішень. Завдання економіко-математичного моделю-

вання полягає в забезпеченні потрібною кількістю науково обґрунтованої інформації, на підставі якої

здійснюється вибір управлінського рішення.

Математичне програмування — один із напрямків прикладної математики, предметом яко-

го є задачі на знаходження екстремуму деякої функції за певних заданих умов.

У математичному програмуванні виділяють два напрямки — детерміновані задачі і стохас-

тичні. Детерміновані задачі не містять випадкових змінних чи параметрів. Уся початкова інформація

повністю визначена. У стохастичних задачах використовується вхідна інформація, яка містить еле-

менти невизначеності, або деякі параметри набувають значень відповідно до визначених функцій ро-

зподілу випадкових величин. Наприклад, якщо в економіко-математичній моделі врожайності сільсь-

когосподарських культур задані своїми математичними сподіваннями, то така задача є детермінова-

ною. Якщо ж врожайності задані функціями розподілу, наприклад нормального з математичним спо-

діванням а і дисперсією D, то така задача є стохастичною.

Кожен з названих напрямків включає типи задач математичного програмування, які в свою

чергу поділяються на інші класи. Схематично класифікацію задач зображено на рис.2.1 (поділ наве-

дений для детермінованих задач, але він такий же і для стохастичних).