Чтобы понять, существует ли экстремум в подозрительной на экстремум
точке функции двух переменных z = z (x, y), необходимо:
1. Вычислить в рассматриваемой точке вторые частные производные
2. Вычисляется значение выражения D = AC – B 2.
3. В случае D < 0 в рассматриваемой критической точке экстремума нет,
в случае D = 0 необходимы дополнительные исследования.
4. В случае D > 0, A > 0, что влечет за собой условие C > 0, в рассматри
ваемой критической точке минимум; в случае D > 0, A < 0, что влечет за собой
условие C < 0, в рассматриваемой критической точке максимум.
Пример 1
Исследовать на экстремум функцию
Решение. Находим частные производные:
(2.30) |
Приравниваем частные производные нулю:
(2.31) |
Решаем систему уравнений (2.31). Вычитая из первого уравнения второе, получим , поэтому x1 = x2, и из первого уравнения найдем , откуда x1 = 0 или x1 = ±1.
Имеем три стационарные точки: X1 = (0; 0); X2 = (1; 1); X3 = (-1; 1).
Найдем вторые частные производные, используя (2.30):
Вычисляем значения вторых частных производных в каждой стационарной точке, составляем определитель Δ и применяем достаточные условия экстремума.
В точке X1 = (0; 0) a11 = - 2; a12 = a21 = - 2; a22 = - 2;
Вопрос об экстремуме остается открытым (такая точка называется седловой). В точке X2 = (1; 1) (а также и в точке X3 = (-1; 1)):
Функция в этих точках имеет минимум, так как Δ > 0, a11 > 0.
Z min = -2 1