Интервал

Могло показаться, что в теории относительности, кроме скорости света, нет величин, неизменных при переходах от системы к системе отсчета. Даже ранее казавшиеся незыблемыми величины - промежутки времени и длины - по теории относительности в различных системах отсчета выглядят по-разному. Это обусловлено тем, что в теории относительности пространство и время выступают сторонами одной и той же сущности - четырехмерного многообразия - пространства-времени.

В теории относительности имеется ряд величин, измерения которых в разных системах отсчета дают одни и те же значения. О таких величинах говорят, что они инвариантны (неизменны) при переходах из одной системы отсчета в другую. Одна из них - интервал. Определение интервала между событием, произошедшим в начале координат в начальный момент времени дано в задаче 1 домашнего задания. Интервал - всегда характеристика соотношения между двумя событиями. Сформулируем более общее определение, годное для произвольных двух событий. Пусть в некоторой системе отсчета на расстоянии друг от друга через время t=t2-t1 произошли два события. Интервалом между этими двумя событиями называется величина S, определяемая так:
. (10)

Интервал в четырехмерном мире играет ту же роль, что и длина в трехмерном - что-то вроде расстояния между двумя событиями. Это длина разности четырехмерных радиус-векторов двух событий.

Среди инвариантных величин относительно преобразований Лоренца, кроме интервала, можно назвать еще заряд тела. Заряд тела в любой системе отсчета один и тот же.

Задача 1. Через точку A и точку B, находящиеся на расстоянии L друг от друга прошел световой импульс. Определите интервал между прохождениями импульса точек A и B.

Задача 2. Через точку A и точку B, находящиеся на расстоянии L друг от друга пролетела частица со скоростью v. Определите интервал между прохождениями частицы точек A и B.

Инвариантность интервала относительно преобразований Лоренца широко эксплуатируется в теории относительности. Так, преобразования Лоренца можно получить из факта инвариантности интервала.

Задача 3. Собственное время жизни частицы равно t0. Используя инвариантность интервала относительно преобразований Лоренца, получите формулу расчета среднего времени жизни частицы в лабораторной системе отсчета, в которой частица движется со скоростью v.
Указание: совместите начало координат движущейся системы отсчета с частицей и предварительно установите соответствие между временем жизни и координатой частицы в лабораторной системе отсчета.

Решение. Пусть частица находится в начале координат движущейся системы отсчета. Пусть t`=0 - момент рождения частицы, тогда t`=t0 - момент распада час­тицы. В системе отсчета, связанной с частицей, интервал между рождением и распадом равен ct0. В лабораторной системе отсчета координата точки, в которой частица распалась, равна v t, где t -время жизни в лабораторной системе отсчета. Поэтому интервал между рождением и распадом частицы в лабораторной системе отсчета равен . Из инвариантности интервала между рождением и распадом следует
. (11)
Откуда получаем
, (12)
что совпадает с ранее полученным результатом.

Аналогично проведенному решению из факта инвариантности интервала можно получить преобразование длин.