При вычислении интеграла с помощью метода Симпсона (парабол), функцию на локальном отрезке заменяют параболой, проходящей через точки , , , где – середина локального отрезка. Построим полином Лагранжа второй степени:
.
Здесь , , .
Тогда
Таким образом, мы получаем формулу Симпсона
.
Можно показать, что формула Симпсона имеет четвертый порядок точности.
ПРИМЕР 4.1. Вычислить интеграл J = .
Найдем значение определенного интеграла точно:
5,25.
Разобьем отрезок на 10 частей, т.е. . Вычислим значение интеграла по формулам левых, правых, средних прямоугольников, по формуле трапеций и формуле Симпсона. Для этого составим таблицы:
-1 | -0.85 | 4.213375 | 25.1205 | ||
-0.7 | 4.267 | -0.55 | 4.181125 | 24.9675 | |
-0.4 | 3.976 | -0.25 | 3.671875 | 21.9525 | |
-0.1 | 3.289 | 0.05 | 2.847625 | 17.0475 | |
0.2 | 2.368 | 0.35 | 1.870375 | 11.2245 | |
0.5 | 1.375 | 0.65 | 0.902125 | 5.4555 | |
0.8 | 0.472 | 0.95 | 0.104875 | 0.7125 | |
1.1 | -0.179 | 1.25 | -0.35938 | -2.0325 | |
1.4 | -0.416 | 1.55 | -0.32863 | -1.8075 | |
1.7 | -0.077 | 1.85 | 0.359125 | 2.3595 | |
Для нахождения интеграла методом левых прямоугольников, необходимо просуммировать элементы третьего ряда в диапазоне и умножить на шаг . Аналогично для формулы правых прямоугольников, суммировать в диапазоне . Сумма элементов пятого столбца, помноженная на шаг, даст результат по формуле средних прямоугольников. Согласно формуле трапеций, необходимо к полусумме первого и последнего значения элементов третьего столбца добавить сумму всех остальных членов этого столбца, и умножить результат на шаг . Суммируя значения последнего столбца и умножая ее на =0,05, найдем интеграл по методу Симпсона, результаты соберем в таблицу:
Формула левых прямоугольников | 5.7225 |
Формула правых прямоугольников | 4.8225 |
Формула средних прямоугольников | 5.23875 |
Формула трапеций | 5.2725 |
Формула Симпсона | 5.25 |
Как следует из таблицы, для данной подынтегральной функции формула левых прямоугольников дает приближенное значение с избытком, а формула правых прямоугольников – с недостатком. Хорошую точность дали метод трапеций и метод средних прямоугольников. Результаты различаются, поскольку значения известной подынтегральной функции в методе средних были вычислены в средних точках, а не получены путем интерполяции. Метод Симпсона дал абсолютно точное значение интеграла. Это связано с тем, что первообразная функция в данном примере является полиномом четвертого порядка, для которых метод Симпсона дает точное значение.