Понятие «функция». Область изменения и область определения функции: определение, графическое изображение

Функция – одно из основных общенаучных понятий; оно выражает взаимосвязь между различными объектами. Понятие функции сложилось не сразу, первые попытки очертить контуры этого понятия были предприняты в конце XVII в. Родоначальником введения этого понятия явились Лейбниц, а также братья Бернулли. Сам термин «функция» принадлежит Лейбницу и происходит от лат. function «выполнение, осуществление».

В начале XIX века стало выкристаллизовываться понятие функции как соответствия, правила, по которому независимая переменная х из некоего множества X преобразуется в переменную у из другого множества У «любым образом».

Пусть дано некоторое множество значений величины х, т. е. некоторое множество точек на числовой оси Ох, обозначим его через D. Пусть также заданы два множества (X,Y) R. Если для любого значения х из множества X ставится в соответствие по определенному закону одно строго определенное значение (взаимно однозначное соответствие) другой величины у из множества У, то говорят:

· величина у есть функция величины х или что величины х и у связаны между собой функциональной зависимостью

· задана функция, отображающая множество Х в множество У

· задана функция y = f(x) на множестве Х.

Данное определение функции можно проиллюстрировать графически:

Значения аргумента х из области Х определения функции у можно выбирать по своему усмотрению произвольно; поэтому величина х называется независимой переменной. Значение же функции у, когда значение независимой переменной х уже назначено, произвольно выбрать нельзя. Это значение будет строго определенным, именно тем, которое соответствует выбранному значению независимой переменной. Значения функции зависят от значений, принимаемых независимой переменной, и изменяются при ее изменении. Поэтому функцию называют еще зависимой переменной.

В качестве примеров рассмотрим следующие функции.

Пример 1. Температура T воздуха в данном месте, измеряемая через каждый час в течение суток, является функцией целочисленного аргумента-времени t, принимающего значения t = 0, 1, 2, 3,..., 23. Действительно, каждому из этих значений величины t соответствует вполне определенное значение величины T, и, значит, она, в согласии с данным определением, является функцией величины t. Здесь область определения функции состоит из 24-х "целых" точек. Если измерения производить не через каждый час, а через каждую минуту, то температура будет функцией целочисленного аргумента, принимающего уже 24 * 60 = 1440 последовательных целых значений.

Пример 2. Каждый студент вуза учится в определенной группе определенного факультета. Если обозначить через Х множество студентов данного вуза, а через У – множество учебных групп, то можно сказать, что каждому элементу множества Х (каждому студенту) сопоставлен единственный элемент множества У (т.е. та группа, где он учится).