Классификация элементарных функций

К элементарным функциям относятся степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические, обратные гиперболические, а также функции, получаемые из них с помощью четырех арифметических операций и суперпозиции.

Наиболее простой функцией является линейная: у(х) = kx + b, где k и b – некоторые константы. Это уравнение прямой.

Степенная функция f (x) = xⁿ. При четном n справедливо равенство f(x) = f (-x), функция четная, это, например, парабола. При нечетном n справедливо f(x) = - f (-x), и ее график симметричен относительно начала координат (гипербола).

При n = 2, 4 и 6, при любом четном n – это парабола, четная функция. График симметричен относительно оси Оу (рис. 2 а, б). При нечетном n – это гипербола, график симметричен относительно начала координат (рис. в, г).

При n = - 1 график функции у = х ⁿ = 1/х ⁿ - гипербола (рис. 4). Здесь также можно провести градацию между четным и нечетным n (рис а и б), которые меняют симметрию относительно оси Оу или начала координат. Когда х стремится к бесконечности, график всё сильнее прижимается к оси абсцисс. Вблизи начала координат график устремляется в бесконечность.

Степенная функция f(x) = x^a c дробным или иррациональным показателем а считается определенной только на положительной полуоси. Если а = 0, функция также не определена в точке х = 0. графики функций при различных показателях приведены на рис. 6.

Через понятие «степень» определяется понятие «логарифм»: логарифм числа х по основанию а (записывается logax) есть показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число х. Т.е. а ^logax = х значит, функции у = а^х и у = logax – обратные друг другу. Графики этих функций представлены на рис. 9 и 10.

Тригонометрические функции основаны на измерении углов в радианах (за единицу принимается центральный угол окружности, «вырезающий» из неё дугу, равную длине радиуса этой окружности). Полный угол (360⁰)в радианах равен 2π.

Функция у = cos x. Её значение лежит в пределах от -1 до +1, график её представлен на рис. 17.

Функция у = sin х имееттакие жезначения, но график этой функции отличается от предыдущего и представлен на рис. 20.

Функции у = tg x y = ctg x. Их можно представить таким образом:

tg x = sin x/ cos x ctg x = cos x/sin x

Это периодические функции, их периоды равны π.

tg x не определен в тех точках, где cos x равен 0, а ctg x – там, где sin x = 0. Графики этих функций приведены на рис. 22 и 23:

Обратные тригонометрические функции. Для sin x, cos x, tg x и ctg x можно определить и обратные функции. Они обозначаются соответственно arcsin x, arccos x, arctg x и arcctg x. Их графики - на рис. 24, 25, 26 и 27.