Способы задания функции

Задать функцию - значит указать область ее определения и правило, при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции. Важнейшими способами задания функций в математике являются:

· табличное задание

· аналитическое задание (формулой)

· графическое.

При табличном задании выписывается ряд значений независимой переменной и соответствующих им значений функции. Этот способ употребляется очень часто: например, хорошо известны таблицы логарифмов, таблицы тригонометрических функций и их логарифмов и др.

Табличный способ задания функций особенно распространен в естествознании и технике. Числовые результаты последовательных наблюдений какого-нибудь процесса обычно группируются в виде таблицы. Например, при изучении зависимости электрического сопротивления R некоторого медного стержня от температуры t^o была получена следующая таблица:

Сопротивление является функцией температуры, и приведенная таблица дает значения этой функции для указанных значений независимой переменной.

Преимуществом табличного задания функций является то, что для каждого значения независимой переменной, помещенного в таблице, можно сразу, без всяких измерений и вычислений, найти соответствующее значение функции. Недостаток же табличного задания заключается в том, что при нем обычно невозможно задать функцию полностью; найдутся такие значения независимой переменной, которые не помещены в таблице. Например, данная выше таблица не позволяет ответить на вопрос о том, каковы сопротивления стержня при температурах, меньших 19,1° или больших 50,0°. Точно так же по таблице нельзя узнать значения сопротивления, например, при температурах 24,2° и 37,43°, прямо не указанных в числе значений температуры.

Другим недостатком табличного задания, особенно ярко проявляющимся при большом объеме таблицы, является отсутствие наглядности. По таблице весьма трудно выявить характер изменения функции при изменении независимой переменной.

Аналитическое задание функции состоит в том, что дается формула, с помощью которой по заданным значениям независимой переменной можно получать соответствующие им значения зависимой переменной.

При аналитическом задании функции под областью ее определения понимают множество значений х, при которых формула, определяющая функцию, имеет смысл. При применении формулы можно получить для у определенные действительные значения.

Аналитическое задание функции - основной способ задания в математическом анализе. В этом случае практически всегда можно подобрать приближенную формулу которая правильно отписывает функциональную зависимость и не дает больших ошибок при интерполяции, т.е. при переходе от известных значений аргумента к новым, промежуточным между уже имеющимися. Найденную при этом зависимость называют эмпирически найденным законом или эмпирической формулой.

Преимущества аналитического способа заключаются:

· в сжатости, компактности задания;

· в возможности вычислить значение функции для любого значения независимой переменной из области определения (значения многих функций, например, y=sin x, y=lg x, мы пока умеем находить только при помощи таблиц);

· в возможности применения к данной функции аппарата математического анализа, ибо он наилучшим образом приспособлен как раз к аналитической форме задания функций.

Неудобствами аналитического задания функции являются:

· недостаточная наглядность;

· необходимость производства вычислений, иногда очень громоздких.

Для программистов наиболее важным становится именно аналитическое задание, т.к. формула является чуть ли не единственным способом программной реализации всех вычислений.

Графическое задание. Графикомфункции называется множество всех точек, абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты - соответствующими значениями функции. Т.е. если взять абсциссу, равную некоторому значению независимой переменной, то ордината соответствующей точки графика должна быть равна значению функции, соответствующему данному значению независимой переменной. Графиком функции обычно служит некоторая кривая линия.

Таким образом, понятия линии и функции тесно связаны. Заданием функции порождается линия - ее график; заданием линии порождается функция - та, для которой эта линия служит графиком. Графическое задание функции состоит в задании графика этой функции.

В физике, технике и медицине функции нередко задаются графически, причем иногда график является единственным доступным средством задания функции. Чаще всего это бывает при употреблении самопишущих приборов, автоматически записывающих изменение одной величины в зависимости от изменения другой (например, времени). В результате на ленте прибора получается линия, графически задающая регистрируемую прибором функцию. К таким приборам относятся, например, барограф, вычерчивающий барограмму - график атмосферного давления, и термограф, вычерчивающий термограмму - график температуры как функции времени.

К графику функции, как и к таблице, не может быть непосредственно применен аппарат математического анализа, но график функции наряду с этим недостатком обладает весьма важным преимуществом - наглядностью, что делает его чрезвычайно полезным при изучении функции.