Обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее и

Частное решения. Порядок уравнения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее в качестве неизвестных некоторую функцию у и ее производные до n-ого порядка включительно. Если неизвестная функция зависит только от одной переменной, т. е. y = f(x), то уравнение называется обыкновенным.

Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения:

Ф(x, y(x), y’(x), y’’(x), y’’’(x), …, y(n)(x)) = 0.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение.

Например, уравнение y ′ = y²/x – это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. А уравнение у ′′ + х * y ′ = 8 – обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.

Функция y = φ(x) называется решением дифференциального уравнения, если последнее обращается в тождество после подстановки функции y = φ(x).

Свойства общего решения:

1) Постоянная С – произвольная величина, поэтому любое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

2) При каких- либо начальных условиях х = х₀, у(х₀) = у₀ существует такое значение С = С₀, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = (х, С₀). Решение вида у = f (х, С0) называется частным решением дифференциального уравнения.