Существующие стационарные методы определения коэффициента теплопроводности основаны на частных решениях дифференциального уравнения теплопроводности:
¶t /¶t = а·Ñ2t (1.5)
Для стационарного процесса ¶t /¶t = 0, следовательно
,
здесь - оператор Лапласа,
а = λ/(сρ) – коэффициент температуропроводности.
При экспериментальном определении теплопроводности, как правило, стремятся к созданию одномерного температурного поля.
Рассмотрим передачу теплоты через цилиндрическую стенку (рис.1)
Примем следующие допущения:
1. Цилиндр неограниченный.
2. Температурное поле одномерно (температура стенки изменяется только в радиальном направлении.
3. Стенка однослойная.
Внутренний радиус трубы R1, наружный R2, длина трубы L, коэффициент теплопроводности материала стенки l = const (стенка однородная и изотропная).
Граничные условия:
при R = R1 t = tc1 (на внутренней поверхности трубы);
при R = R2 t = tc2 (на наружной поверхности трубы).
Рис. 1. Однородная цилиндрическая стенка. Граничные условия первого рода. |
Выделим в стенке трубы цилиндрическую поверхность, имеющую радиус R, и запишем выражение для теплового потока через эту поверхность в соответствии с законом Фурье, выразив площадь выделенной поверхности через 2pRL,
(1.6)
Выражение для температурного градиента здесь записано в виде dt/dR, т.к. температура стенки изменяется только в направлении радиуса.
Обозначим
- Q/(2πRL) = A, (1.7)
тогда
dt = A(dR/R) (1.8)
После интегрирования получим
t = AlnR + B (1.9)
Это выражение показывает, что изменение температуры в стенке цилиндрической трубы подчиняется закону логарифмической кривой (при l = const и при отсутствии внутренних источников теплоты).
Освободимся от постоянной интегрирования В, для чего воспользуемся граничными условиями:
tc1 = AlnR1 + B; tc2 = AlnR2 + B
Вычтем из первого уравнения второе, тогда получим
(1.10)
Тепловой поток можно определить, если найденное значение А из (1.10) подставить в (1.7). При этом, чтобы устранить знак “-” в левой части уравнения, надо под знаком логарифма изменить отношение радиусов на обратное. Тогда
или
(1.11)
Выразим отсюда коэффициент теплопроводности
(1.12)
Здесь коэффициент формы (м-1).
Выражение (1.12) справедливо и для неограниченного плоского слоя приk = d/F, а также шарового слоя при , где d - толщина плоского слоя, м; F - поверхность плоского слоя нормальная к направлению теплового потока, м2; d1 и d2 - внутренний и наружный диаметры цилиндрического и шарового слоя, м.
Таким образом, чтобы определить коэффициент теплопроводности исследуемого материала l, необходимо измерить в стационарном режиме тепловой поток Q, проходящий через исследуемый образец, и температуру каждой изотермической поверхности. Уравнение (1.12) описывает распределение температуры в твердых телах, а также в жидкостях и газах при отсутствии других (кроме теплопроводности) способов переноса теплоты. В случае зависимости коэффициента теплопроводности от температуры уравнением (1.12) можно пользоваться при условии, что в исследуемом образце имеет место небольшой перепад температур. Полученные при этом средние значения коэффициента теплопроводности будут близки к его истинным значениям.