Особенности организации обучения математике в малокомплектнои школе

* Кордемский Б. А. Математическая смекалка.— М.: физматиз, 1963; Игнатьев Е. И. В царстве смекалки.— М.: Наука, 1978; Сорокин П. И. Занямательные задачи по математике.— М.: Просвещение, 1967; Труднеб В. П. Считай, смекай, отгадывай.— М.: Просвещение, 1970.

Задачи для занятий кружка учитель может почерпнуть из многочисленных сборников занимательных задач*.
Большое место в содержании кружковой работы могут занимать дидактические игры.
Кружок групповое занятие. В начальных классах на заседания кружка приглашаются, как правило, все учащиеся класса. Кружок проводится 2—З раза в месяц. Продолжительность занятия 35—50 мин.
Еще одной формой организации систематической внеурочной работы учащихся по математике является математический уголок. В нем могут быть представлены номера стенной газеты, посвященные занимательной математике, работе кружка, лучшие учебные работы учащихся по математике, подборки вырезок из пионерских газет и журналов, в частности из Кванта». В математическом уголке могут помещаться, например, задания для учащихся, включающие занимательные задачи. Ответы (решения) ученики опускают в специальный ящик. В конце недели учитель подво4ит итоги победители, решившие наибольшее количество задач, поощряются.
Большой интерес вызывают у учащихся и другие формы внеурочной работы: математические конкурсы, викторины, олимпиады, утренники, смотры-конкурсы знаний по математике. С опытом проведения этих мероприятий можно ознакомиться по публикациям в журнале Начальная школа» (см., например: Купров В. д. Конкурс- смотр знаний по математике//Начальная школа.— 1982.— З б.— С. 45—47; Кондратенко Е. А. Математический утренник//Начальная школа.— 1982.— З б.— С. 47—49 и др.).

Малокомплектные начальные шкколы организуются в небольших населенных пунктах, где число учащихся, принимаемых в i класс, меньше норм, установленных для комплектования отдельного класса. Особенность такой школы состоит в том, что учитель на каждом уроке одновременно обучает учащихся разных классов. Малокомплектные школы бывают одно-, двух- и трехкомплектными. В однокомплектной школе работает только один учитель, который одновременно обучает учащихся с первого по третий класс. В двухкомплектной школе — два учителя. Каждый из них ведет по два класса. При четырехлетнем начальном обучении возможна трехкомплектная школа. В ней три учителя, один из которых ведет два класса.
Работа учителя в малокомплектной школе имеет ряд негативных особенностей. Это, во-первых, отсутствие или малочисленность учительского коллектива, который, как известно, способствует повышению творческой активности каждого учителя; во-вторых, повышенная нагрузка, которую испытывает учитель, готовясь ежедневно к двум и даже трем урокам по каждому предмету. Однако наиболее сложная проблема выполнение в полном объеме учебной программы во всех классах. Методика изучения учебного материала по математике в каждом классе малокомплектной школы не отличается от методики изучения этого же материала в обычной школе. Поэтому качественное изучение программы в условиях малокомплектной школы возможно при выполнении двух условий: 1) если правильно организован учебный процесс в целом; 2) если разработан оптимальный вариант работы каждого класса в рамках отдельного урока.

Рассмотрим подробнее эти условия.

1. Под правильной организацией учебного процесса изучения математики понимают выбор учителем наиболее удачного сочетания математики с другими учебными дисциплинами в рамках одного урока. Изучение математики можно сочетать с обучением чтению, природоведением, рисованием. Считают также, что удобнее изучать математику одновременно во всех классах малокомплектной школы. Это объясняется тем, что особенности данного предмета позволяют организовать и эффективно контролировать самостоятельную работу учащихся. Например, в начале урока учащиеся могут самостоятельно работать над устными вычислениями. Соответствующие упражнения записываются учителем на доске, в тетрадях учащиеся пишут только ответы. Затем ученикам можно предложить самостоятельно выполнить задания, что облегчило бы восприятие нового материала. После изучения новой темы легко организовать самостоятельную работу по ее закреплению.

Концентрическое строение программы также обусловливает целесообразность изучения математики одновременно в двух и даже трех классах. Например, на множестве чисел в пределах ста младшие учащиеся могут выполнять операции сложения и вычитания, а ученики более старших классов — умножение и деление. В одном классе на множестве трехзначных чисел могут отрабатываться приемы письменного сложения и вычитания, а в другом — приемы письменного умножения и деления.

Иногда по каким-либо причинам для учителя однокомплектной школы может оказаться нежелательным сочетание урока математики в одном классе с уроками в другом (или других) классе. В этом случае учитель может распределить уроки таким образом: первый урок — математика — проводится только в одном классе, уроки в двух других классах начинаются позже на один урок и на один урок позже заканчиваются.

С переходом начальной школы на четырехлетнее обучение подобный вариант расписания уроков и малокомплектной школе используется чаще. Так, первые два урока учитель работает с двумя классами (старшим и младшим), два следующих —с четырьмя, последние два урока — с двумя классами (рис. 11).

2. План урока математики, разрабатываемый учителем, должен обеспечить эффективное изучение учащимися каждого класса, с которым он работает на данном уроке. Большую помощь в этом оказы

Работая по такой программе, учитель должен уделять больше времени учащимся первого класса, у которых навыки самостоятельной работы еще только формируются, а также классу, у которого на данном уроке более сложная.(важная) тема.

Наличие у учащихся навыков самостоятельной работы имеет в малокомплектной школе большое значение. для формирования таких навыков учитель должен использовать систему специальных методических приемов.

Выделяют три группы таких приемов*.

1. Приемы, обеспечивающие правильное понимание учащимися содержания задания для самостоятельной работы и предъявляемых к ним требований.

Планируя в начале урока работу с одним из классов, учитель дает задания для самостоятельной работы учащимся других классов. При этом он лишен возможности отвечать на вопросы, которые могут возникнуть у учеников в процессе выполнения этих заданий. для того чтобы предупредить возможные неясности, учитель вместе с заданием показывает учащимся образец его выполнения.

Например, учащимся нужно самостоятельно выполнить упражнение: Реши примеры, проверяя ответ умножением: 48:24, 32: 16, 84:14, 51:17, 87:29». Ученикам дается образец решения первого примера: 48:24= 2; 24. 2=48.

2. Приемы, позволяющие учитывать индивидуальные особенности учащихся.

Немногочисленность учащихся в малокомплектной школе позволяет индивидуализировать задания для самостоятельной работы.

Пусть, например, учащимся нужно решить задачу: «Сколько килограммов масла получится из 75 л молока, если из 25 л молока получается 1 кг масла?»

Сильным учащимся может быть предложено задание: «Реши задачу. Составь похожую задачу со следующими данными: З кг, 75 л, 25 л».

Более слабым ученикам вместе с условием задачи можно дать чертеж, иллюстрирующий ее содержание.

для слабоуспевающих учащихся, кроме этого, может быть записано выражение: 75:25. Требуется: «Вычисли ответ к задаче. Запиши пояснение к действию 100:25=4».

3. Приемы, обеспечивающие формирование у учащихся навыков самоконтроля.

Н. Ф. Вапняр предлагает два вида приемов такого рода:

1) учащимся предлагается задание и ряд числовых значений. Требуется проверить, есть ли среди этих чисел ответ к данному примеру;

2) учащимся дается задание решить систему примеров. Одновременно им сообщается число, которое равно, например, сумме полученных в этих примерах ответов.

Эти приемы позволяют осуществлять эффективный контроль за самостоятельной работой учащихся.

Например, учащимся вместе с заданием дается система ответов. Только один из них верен, а остальные подобраны с учетом наиболее вероятных ошибок. Ученики выполняют задание и подчеркивают соответствующий ответ. Это позволяет учителю не только определить, справился ли ученик с заданием, но и оперативно выяснить характер допущенной ошибки.

Проиллюстрируем использование этого приема,

для проверки усвоения правила определения неполного делимого (при использовании алгоритма письменного деления) учащимся может быть предложено следующее задание:

Определи неполное делимое и подчеркни полученный ответ:

13. СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Учебники. Из курса педагогики известны принципы построения учебников для начальной школы, общие требования, которым должны удовлетворять их содержание и структура. Рассмотрим наиболее важные методические особенности учебников математики для начальных классов.

Процесс обучения математике можно рассматривать как последовательное усвоение учащимися фрагментов теоретического материала (определений, аксиом, теорем) и выполнение ими соответствующих систем упражнений. Работая над упражнениями, учащиеся, о’ одной стороны, глубже усваивают изучаемую теорию, с другой приобретают практические навыки, умения, которые пригодятся им при изучении следующей порции теоретического материала. В соответствии с этим и учебники по математике, например для средних и старших классов, строятся по следующему принципу: теоретический материал и соответствующая система задач, следующий раздел теории и соответствующая ему система задач и т. д. Объем порций теоретического материала соответствует возрастным особенностям учащихся.

Принцип построения учебников математики для начальной школы специфичен. Известно, что в основе любой математической теории лежит конечное множество исходных понятий. Например,

в аксиоматической теории арифметики натуральных чисел (изучавшейся в вузовском курсе математики) в качестве исходных используются понятия «множество», «натуральное число», «единица», «следует за», «равенство», неравенство»; в школьной геометрии в качестве исходных используются понятия «точка», «прямая», плоскость> и др. Но у начинающих изучать математику нет исходного запаса математических понятий. даже у учащихся четвертого класса понятийный аппарат беден. Поэтому в учебниках для младших школьников не может быть учебного материал’ излагаемого в виде теории. Математические понятия вводятся в начальной школе, как правило, посредством систем специальных заданий. Таким образом, каждому понятию, предусмотренному программой, в учебнике соответствует система учебных заданий.

Приведем пример системы заданий, с помощью 1оторой вводится правило умножения числа на произведение, из учебника математики для iii класса.

Характер заданий в учебниках, например для 1 и IУ классов, различен. В начале учебы в 1 классе учащиеся еще не умеют читать, навыки работы над учебными заданиями у них отсутствуют. Соответственно в учебнике помещены не учебные задания, а лишь материал для них в виде картинок, изображающих реальные предметы, житейские ситуации. Сами же задания формулирует учитель. Позже задания даются в текстовой форме. Наконец, в учебниках для 111 и IУ классов формулируются не только задания, по и указания к ним, требующие от учащихся самостоятельного мышления.

Качество усвоения учащимися учебного материала во многом зависит от методической целесообразности содержания учебника. В не- меньшей степени оно зависит и от педагогического мастерства учителя. В самом деле, используя одни и те же учебники, разные учителя добиваются существенно разных результатов обучения. Работа с учебником будет эффективной, если учитель понимает, почему в систему заданий для формирования данного понятия включены именно эти, а не другое задания, почему именно в такой, а не в другой последовательности, какую функцию выполняет каждое из этих заданий.

В то же время целесообразность предлагаемой в учебнике системы заданий не есть объективная характеристика. Она зависит и от уровня методической подготовки учителя и от особенностей класса. Поэтому учитель должен уметь определять слабые места системы упражнений, предлагаемой в учебнике, и, если это необходимо, дополнять или изменять ее.
Вернемся к рассмотренной выше системе заданий. Возможно, что индуктивное введение правила умножения числа на произведение (упражнение 556) покажется учителю недостаточно доступный для учащихся. В таком случае он может предложить учащимся еще до выполнения упражнения 556 задание, представляющее новое правило в более наглядном виде:
1) 3. (5. 2)=3. 10.
Начерти отрезок длиной З клетки. Начерти отрезок в 10 раз больший;
2) 3. (5. 2) = (3. 5). 2.
Начерти отрезок длиной З клетки. Начерти отрезок в 5 раз больший. Начерти отрезок, в 2 раза больший полученного;
3) 3. (5. 2) = (3. 2). 5
Начерти отрезок длиной З клетки. Начерти отрезок в 2 раза больший. Начерти отрезок, в 5 раз больший полученного.
Сравни полученные отрезки. Какой вывод можно сделать?
В некоторых ситуациях учитель может воспользоваться собственной методической идеей, отличающейся от заложенной в учебнике. Например, в учебнике математики для II класса предлагается такое упражнение, раскрывающее прием деления двузначного числа, оканчивающегося нулем, на двузначное, оканчивающееся нулем:
80:20
Целое число надо умножить 20, чтобы получилось 80?
Попробуй умножить 20 на 2, на 3, на 4
80:20=4, так как 20. 4= 80.
Авторы учебника используют формальное определение частного (которое, кстати, применяется и в вузовском курсе математики). Если учитель считает, что оно доступно не всем учащимся, он может, например, предложить им более простой прием деления.
Реши задачу: <(8 десятков яиц разложили по 2 десятка в каждую корзину. Сколько корзин для это потребовалось?
Тип этой задачи - деление по содержанию —. уже хорошо известен учащимся. Решить ее они должны самостоятельно — 8:2=4.
Упражнение:
80:20. 90:30=?
8 лес.:2 дес. = 4.
80:20=4.
Итак, работа с учебником требует от учителя творческого отношения, хорошего знания общих и частных вопросов методики преподавания математики.
Дидактические материалы. В начальном обучении широко применяются различные дидактические материалы. Карточки с математическими заданиями* представляют собой сборники задач и
* Например: Моро М. И., Вапняр Н. Ф. Карточки с математическими заданиями ля 1 класса. — М., 1982; Моро М. И., Мелнцова Н. В. Карточки с математическими

упражнений. Они дополняют учебники и используются учителем для организации индивидуальной работы с учащимися и контроля за усвоением ими программного материала.
На уроках математики могут применяться так называемые тетради с печатной основой*. В них также содержатся системы упражнений, дополняющие материал учебников. Системы упражнений соответствуют отдельным урокам. В каждую из них входит упражнение-образец. Пользуясь им, учащиеся самостоятельно или с незначительной помощью учителя могут выполнить всю систему упражнений.
для малокомплектных школ, где объем самостоятельной работы, выполняемой учащимися, значительнее, чем в обычной школе, разработаны специальные дидактические материалы**. В методическом отношении они в большей степени, чем все названные мате- риалы, ориентируют учащихся на самостоятельную работу. Они со- держат образцы для выполнения упражнений а также задания, в которых учащимся необходимо восполнить специально оставленные пробелы.
Наглядные пособия. Принцип наглядности является общедидактическим. Это означает, что его реализация имеет важное значение для полноценного обучения любой дисциплине, на любом уровне (и в начальной школе, и в старших классах школы, и в вузе). Вместе с тем отражение этого принципа в начальном обучении математике имеет ряд особенностей (см. § 6). рассмотрим важнейшие из них.
1. Как известно, у учащихся начальных классов превалирует конкретнообразное мышление. Вследствие этого им легче дается запоминание учебного материала, чем осмысленное его усвоение.
При изучении математики у учащихся формируется словеснологический тип мышления. Важным условием этого является использование при обучению наглядных пособий. Однако в некоторых случаях применение наглядных пособий может оказаться не очень эффективным. рассмотрим это на конкретном примере.
На уроке учащиеся знакомились с правилом умножения числа на сумму: а (Ь + с) = аЬ + ас. При объяснении нового материала широко использовались наглядные пособия. Учащиеся работали над иллюстрацией, помещенной в учебнике и демонстрировавшейся учителем на магнитной доске. Новое правило было сформулировано учителем, затем уча1ЦимиСя. Класс выполнил систему упражнений на закрепление. Аналогичные упражнения были заданы на дом.
заданиями для 2 класса.— м., 1983; Моро М. И., Вапняр Н. Ф. Карточки с математическими заданиями для З класса.— М., 1984.
* Например: Вапняр Н Ф., Пышкало А. М., Янковская Н. А. Тетрадь по математике для 2 класса.— М., 1983; Вапняр Н. Ф., IIышкало А. М., Янковская Н. А. Тетрадь по математике для З класса—М., 1981.
** Чеiсмарева Т. К Задания к учебнику математики 1 класса: Пособие для малокомплектной Школы.— М., 1982; Вапняр Н. Ф. Задания к учебнику математики 2 класса: Пособие для малокомплектной школы.—- м., 1983; Чекмарева Т. К. Задания к учебнику математики З класса: Пособие для малокомплектной школы.— М., 1981.
В начале следующего урока учитель провел самостоятельную работу. Ее результаты показали, что значительная часть учащихся (и среди них успевающие по математике на хорошо») не справилась с заданием: «Вычисли разными способами 5 (3 + 4)».
В беседе с этими учениками выяснилось, что при изучении правила они старались запомнить его. Формулировка, данная учителем, оказалась для них слишком сложной, поэтому они сами придумывали мнемонические правила, которые основывались на несущественных признаках изученного материала. Например, один из учеников пользовался таким правилом: «При умножении числа на сумму должно получаться выражение, в котором два действия умножения и одно — сложения». Выражение 5. (3 +4) он преобразовал так: 5. 3+З 4.
На основании данного факта учитель высказал мнение, что время, затраченное на демонстрацию наглядных пособий, целесообразнее использовать на закрепление формулировки правила умножения числа на сумму, т. е. на запоминание. С этим согласиться нельзя. Ориентировать учащихся только на запоминание допустимо тогда, когда другой путь усвоения ими знаний невозможен. В противном случае обучение математике будет сводиться к тренировке и развитию памяти учащихся, а не развитию мышления.
Описанная педагогическая ситуация может быть истолкована по-другому: средства наглядности — необходимое, но не достаточное условие понимания учащимися учебного материала. Оно образует достаточное условие в совокупности со следующим требованием:
учитель должен организовывать работу учащихся с индивидуальными средствами наглядности. В рассмотренном случае после объяснения учителя учащимся нужно было предложить самостоятельно выполнить иллюстрацию, например, к выражению 2. (3 +4). для этого можно использовать наборы вырезанных из бумаги кружков, треугольников и т. д.
Итак, работа учителя со средствами наглядности должна по возможности сочетаться с индивидуальной работой учащихся с раздаточным наглядным материалом. На первых порах затраты времени на индивидуальную работу учащихся с наглядностью будут довольно значительными. Однако систематическое привлечение учащихся к такой деятельности обеспечит формирование у них соответствующих навыков. Это в дальнейшем облегчит организацию работы учащихся со средствами наглядности, приведет к сокращению времени, необходимого на ее проведение.
2. Одна из важных целей обучения математике — развитие у учащихся абстрактного мышления. Средства наглядности способствуют ее достижению в том случае, если с течением времени их характер изменяется: натуральные наглядные пособия (в которых используются предметы из окружающего ребенка мира) уступают место изобразительным (в которых используются образы предметов), а они в свою очередь — символическим наглядным пособиям (где предметы, отно1ения. изображаются символами — кружками, квадратами, отрезками, стрелками, скобками, буквами и т. д.). При

этом важно, чтобы переход к новому типу наглядности соответствовал возможностям учащихся абстрагироваться от несущественных свойств объектов, используемых для иллюстраций.
Уровень абстрактного мышления у учащихся данного класса может оказаться неодинаковым. В таком случае на уроке одновременно используют разные по уровню абстрактности наглядные пособия, например натуральные и изобразительные.
3. В системе наглядных пособий для начальной школы отражаются особенности содержания курса математики для 1—IУ классов. Известно (см. 11), что центральное место в нем занимает понятие целого неотрицательного числа: нумерация, арифметические операции, отношения «больше», «меньше», «равно» на множестве целых неотрицательных чисел. Поэтому и наглядные способ, которые должны помочь учащимся усвоить нумерацию, приемы устного и письменного выполнения арифметических операций, сравнения чисел, можно отнести к основным наглядным пособиям для начальной школы. Это арифметический ящик и его модификации, наборы счетного материала, различные виды абаков. Конструкция этих пособий, методика их использования будут подробно описаны в соответствующих раздел ах данного пособия.
Помимо рассмотренных существуют и другие средства обучения математике*. Оригинальные пособия для отдельных разделов программ предлагаются в журнале «Начальная школа>**.
В методической литературе широко представлен также опыт использования технических средств обучения на уроках математики***
Роль учителя не ограничивается использованием известных средств обучения. Важным аспектом творческого подхода к обучению является разработка им наглядных пособий, методики их использования.