Решение уравнения параболического типа

Рассмотрим смешанную задачу для уравнения теплопроводности в одномерном пространстве. Необходимо определить функцию U(x,t), которая в области G = {0 £ x £ 1, 0 < t £ T } удовлетворяет уравнению

, (9.7)

начальным условиям (при t=0)

U (x,0) =y (x), 0 £ x £ 1,

и на границе области G при x = 0 и x = 1 граничным условиям I рода:

U (0,t) =m₁ (t),

U (1,t) =m₂ (t), 0 £ t £ T.

Будем считать, что задача имеет единственное решение, и это решение непрерывно в области G вместе со своими производными

. В области G построим равномерную сетку по правилу:

x_m=m h, m = 0,1,…,M, h = 1/M>0, h – шаг по пространству,

t_n=n t, n = 0,1,…,N, t >0, Nt £ T < (N+1) t, t - шаг по времени.

Конфигурацию узлов, используемую для составления разностной схемы, называют шаблоном. Наиболее употребительны для уравнений параболического типа шаблоны:

(m,n+1)

- явный двухслойный шаблон;

(m-1,n) (m,n) (m+1,n)

(m-1,n) (m,n+1) (m+1,n+1) -неявный двухслойный шаблон

(m,n)

(m,n+1)

- явный трехслойный шаблон (в настоящее

(m,n)

(m-1,n) (m+1, n) время не используется, так как, соответствующая

ему разностная схема неустойчива);

(m,n-1)