Теоремы умножения вероятностей событий. Условная вероятность. Независимость событий

Определение1: Условной вероятностью наступления событ. А в предлож.Что событ. В уже произ. назыв. величина обознач.: Р(А/В) и определяемая как частное отделение вероятности совместного наступлений А и В на вероятность наступившего события В. Р(А/В) = Р(АВ)/Р(А) Аналагично опред. условн. вероятность наступления события В в предполож. Что событие А уже наступило: Р(В/А)= Р(АВ)/Р(А)

Определение2: 2 события А и В назыв. независимыми в данном экспер., если возможн. наступления не зависит от того произошло 2 события или нет и назыв. зависимыми в противном случае.

Теорема1: Вероятность произведений 2-ух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго события при усл. Что первое событие уже произошло: Р(АВ)=Р(А)×Р(В/А)=Р(В)×Р(А/В)

Следствие:

1) Вероятность произведения n событий А_1..... А_n определяется формулой:

Р(А₁×…× А_n) = Р(А₁)Р(А₂/А₁)×Р(А₃/А₁×А₂)×…×Р(А_n/A₁× A_n_-1) где Р(А_k/A_1….A_k_-1) – вероятн. Появл. cоб. A_k при усл. что соб. A_1,А₂ _….A_k_-1 в этом эксперим. уже произошли.

2) Для независимых событий А и В спроведл. отношения: Р(А/В)=Р(А), Р(В/А)=Р(В)

3) Теорема2 Вероятность произведения 2-ух независимых событ. равна произвед. Вероятн. Данных событий: Р(АВ)=Р(А)×Р(В)

4) Вероятность произвед. Счётного множества n незав. Событ. равна произв. Вероятн. Данных событий: Р(А₁× … ×А_n)=Р(А₁)× Р(А₂) … Р(А_n)

5) Вероятность суммы счётного множества совместных событий равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных данному множеству событий:

Р(А₁+_..... +А_n)=1 – Р(Ā₁× … ×Ā_n), где А и т.д. совместн. событ.

8. Основные комбинаторные формулы без повторений и с повторениями.

Определение 1: Набор элементов {x_i1,x_i2,…,x_ir} из множества X, т.е. x_ij є X (j=1,2,…,r) называется выборкой объемом r из n элементов или просто (n,r)-выборкой. Определение 2: (n,r)-выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следования элементов. Если порядок следования элементов в выборке не является существенным, то такая выборка неупорядоченная.

Определение 3: Упорядоченная (n,r)-выборка, элементы которой попарно различны называется (n,r)-размещением без повторений. Упорядоченная (n,r)-выборка, элементы которой могут повторяться называется (n,r)-размещением с повторением. Обозначения и формулы: - число (n,r) – размещений без повторений - число (n,r) – размещений c повторением. – число перестановок n элементного множества. Рав-ва