Определение устойчивости САР по критерию Гурвица

Чтобы определить устойчивость САР по критерию Гурвица, необходимо вначале найти характеристическое уравнение для замкнутой САР_.

Передаточная функция для разомкнутой системы:

Для замкнутой системы в случае единичной отрицательной обратной связи передаточная функция будет равна:

где знаменатель, приравненный к нулю, есть характеристическое уравнение для замкнутой САР, т.е.:

Определитель Гурвица составляется следующим образом. Все коэффициенты от а₁ до а₄ располагаются по главной диагонали в порядке возрастания индексов. Вверх от главной пали в столбцах записываются коэффициенты характеристического уравнения с последовательно возрастающими, а вниз — с убывающими индексами. На месте коэффициентов, индексыкоторых больше 4, и меньше чем нуль, проставляются нули. Составляем определитель из коэффициентов характеристического уравнения:

Находим величины 2-ого и предпоследнего (в нашем случае 3-го) диагональных миноров

>0

По критерию Гурвица система устойчива только тогда, когда все коэффициенты a₁, характеристического уравнения и все диагональные миноры определителя?_n больше нуля.

Вывод: Так как диагональный минор?₃ отрицательный, то согласно критерию Гурвица рассматриваемая САР неустойчива.

САР можно сделать устойчивой, если изменить коэффициенты характеристического уравнения. Для этого приравняем нулю уравнение (1) и возьмем за неизвестное, например, ко­эффициент а₄. Найдем из уравнения (1) этот коэффициент.

Если теперь выбрать вместо предыдущего коэффициента а₄=64 новое меньшее, чем 30,51 значение, например, а₄=30, то определитель?₃ будет больше нуля и САР станет устой­чивой, то есть

?₃=17*(19*35-1*17)-30*(19)²=186>0