Аналитическая геометрия
1. Расстояние между двумя точками M1 (x1,y1) и M2 (x2,y2) равно:
.
2. Уравнения прямой: Ax+By+C=0 – общее; – уравнение с угловым коэффициентом k=tg α, где α – угол наклона прямой к оси Ох.
3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых y=k1x+b1 и y=k2x+b2: параллельны, если k2=k1; перпендикулярны, если k2k1= - 1.
4. Кривые второго порядка: 1) (x-a)2+(y-b)2=R2 – уравнение окружности радиуса R с центром в точке C(a,b); 2) - уравнение эллипса, где - полуоси;
3) - уравнение гиперболы, - действительная полуось, - мнимая полуось;
4) - уравнение параболы.
5. Уравнение плоскости: A x+ B y+ C z+ D =0, где - нормальный вектор.
Линейная алгебра
1. Вычисление определителей:
.
Правило Сарруса:
2. Линейные операции над матрицами:
3. Умножение матриц:
4.
Матрица АТ называется транспонированной матрицей А, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы АТ. При транспонировании меняется строение матрицы: если А имеет размеры m × n, то АТ имеет размеры n×m.
|
|
5. Если , то обратная матрица , где
|A| - определитель.
6. Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля |A|≠0. При |A|=0 матрица А называется вырожденной. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы |A|≠0.
7. Алгеброическим дополнением A ij элемента aij матрицы А порядка n называется число
A ij = (-1) i+j M ij, где M ij – определитель (минор) матрицы (n-1)-го порядка, получаемый из |A| вычеркиванием i -й строки и j -го столбца.
8. Решение линейной системы ∑ aij xj = bi по формулам Крамера существует, если определитель системы D, составленный из коэффициентов aij, отличен от нуля D≠0.
9. В системе m независимых уравнений с n переменными число свободных переменных равно n-m.
10. Ранг матрицы r(A) равен числу единиц на главной диагонали при обнуливании элементов ниже диагонали методом Жордана-Гаусса.
11. Собственным значением λ матрицы А называется корень квадратного уравнения, заданного определителем .
12. Квадратичной формой матрицы назывется трехчлен .